Primtalssatsen
Primtalssatsen är en sats från talteorin. Primtalen är inte jämnt fördelade över hela talområdet. Satsen formaliserar idén att sannolikheten för att träffa ett primtal mellan 1 och ett givet tal blir mindre när talen växer. Denna sannolikhet är ungefär n/ln(n), där ln(n) är den naturliga logaritmfunktionen. Detta innebär att sannolikheten att hitta ett primtal med 2n siffror är ungefär hälften så stor som med n siffror. Bland positiva heltal med högst 1000 siffror är till exempel ungefär en av 2300 primtal (ln 101000 ≈ 2302,6), medan bland positiva heltal med högst 2000 siffror är ungefär en av 4600 primtal (ln 102000 ≈ 4605,2). Med andra ord är det genomsnittliga gapet mellan på varandra följande primtal bland de första N heltalen ungefär ln(N).
Den 15-årige Carl Friedrich Gauss misstänkte 1793 att det fanns ett samband mellan primtal och logaritmer. Adrien-Marie Legendre misstänkte också ett sådant samband 1798. Jacques Hadamard och Charles-Jean de La Vallée Poussin bevisade primtalssatsen 1896, över ett sekel efter Gauss.
Frågor och svar
F: Vad är primtalsteoremet?
S: Primtalsteoremet är ett teorem från talteorin som förklarar hur primtal är fördelade över talområdet.
F: Är primtal jämnt fördelade över talområdet?
S: Nej, primtal är inte jämnt fördelade över talområdet.
F: Vad formaliserar primtalssatsen?
S: Primtalssatsen formaliserar idén att sannolikheten att träffa ett primtal mellan 1 och ett givet antal blir mindre när antalet tal växer.
F: Vad är sannolikheten för att träffa ett primtal mellan 1 och ett givet tal?
S: Sannolikheten att träffa ett primtal mellan 1 och ett givet tal är ungefär n/ln(n), där ln(n) är den naturliga logaritmfunktionen.
F: Är sannolikheten att träffa ett primtal med 2n siffror större än sannolikheten att träffa ett primtal med n siffror?
S: Nej, sannolikheten att träffa ett primtal med 2n siffror är ungefär hälften så stor som sannolikheten att träffa ett primtal med n siffror.
F: Vem bevisade primtalssatsen?
S: Jacques Hadamard och Charles-Jean de La Vallée Poussin bevisade primtalssatsen 1896, över ett sekel efter att Gauss 1793 misstänkte ett samband mellan primtal och logaritmer.
F: Vad är det genomsnittliga gapet mellan på varandra följande primtal bland de första N heltalen?
S: Det genomsnittliga gapet mellan på varandra följande primtal bland de första N heltalen är ungefär ln(N).
