Logaritm – definition, naturliga, vanliga och binära logaritmer

Logaritmer användes för första gången i Indien på 200-talet f.Kr. Den förste som använde logaritmer i modern tid var den tyske matematikern Michael Stifel (omkring 1487-1567). År 1544 skrev han ner följande ekvationer: q m q n = q m + n {\displaystyle q^{m}q^{n}=q^{m+n}}} och q m q n = q m - n {\displaystyle {\tfrac {q^{m}}{q^{n}}}=q^{m-n}}} . Detta är grunden för att förstå logaritmer. För Stifel måste m {\displaystyle m} och n {\displaystyle n} vara hela tal. John Napier (1550-1617) ville inte ha denna begränsning utan ville ha ett intervall för exponenterna.

Enligt Napier uttrycker logaritmer förhållanden: a {\displaystyle a} har samma förhållande till b {\displaystyle b} , som c {\displaystyle c} till d {\displaystyle d} om skillnaden mellan deras logaritmer är lika stor. Matematiskt: log ( a ) - log ( b ) = log ( c ) - log ( d ) {\displaystyle \log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)} . Till en början användes bas e (även om talet ännu inte hade fått något namn). Henry Briggs föreslog att man skulle använda 10 som bas för logaritmer, sådana logaritmer är mycket användbara inom astronomin.

En logaritm anger vilken exponent (eller potens) som behövs för att skapa ett visst tal, så logaritmer är motsatsen till exponentiering.

Precis som en exponentialfunktion består av tre delar har en logaritm också tre delar: en bas, ett argument och ett svar (även kallat potens).

Följande är ett exempel på en exponentialfunktion:

2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8\ }

I denna funktion är basen 2, argumentet 3 och svaret 8.

Denna exponentiella ekvation har en omvänd ekvation, den logaritmiska ekvationen:

log 2 ( 8 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(8)=3\ }

I denna ekvation är basen 2, argumentet 8 och svaret 3.

Addition har en omvänd operation: subtraktion. Multiplikation har också en omvänd operation: division. Men exponentiering har faktiskt två omvända operationer: rot och logaritm. Anledningen till att så är fallet har att göra med att exponentiationen inte är kommutativ.

Följande exempel illustrerar detta:

• Om x+2=3 kan man använda subtraktion för att komma fram till att x=3-2. Det är samma sak om 2+x=3: man får också x=3-2. Detta beror på att x+2 är samma sak som 2+x.
• Om x - 2=3 kan man med hjälp av division ta reda på att x= 3 2 {\textstyle {\frac {\frac {3}{2}}}} . Detta är samma sak om 2 - x=3: man får också x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}} . Detta beror på att x - 2 är detsamma som 2 - x.
• Om x²=3 kan man använda (kvadrat)roten för att få reda på att x = 3 {\textstyle {\sqrt {3}}}} . Men om 2^x =3 kan man inte använda roten för att ta reda på x. I stället måste man använda den (binära) logaritmen för att ta reda på att x=log₂ (3).
  Detta beror på att 2^x vanligtvis inte är samma sak som x² (till exempel 2⁵ =32 men 5²=25).

Logaritmer kan göra det lättare att multiplicera och dividera stora tal, eftersom det är samma sak att addera logaritmer som att multiplicera och subtrahera logaritmer som att dividera.

Innan miniräknare blev populära och vanliga använde man logaritmtabeller i böcker för att multiplicera och dividera. Samma information i en logaritmtabell fanns tillgänglig på en räknesticka, ett verktyg med logaritmer skrivna på den.

Förutom beräkningar har logaritmen också många andra tillämpningar i verkliga livet:

• Logaritmiska spiraler är vanliga i naturen. Exempel på detta är skalet på en nautilus eller hur fröna är placerade på en solros.
• Inom kemin är det negativa värdet av bas-10-logaritmen av hydroniumjonernas aktivitet (H₃ O⁺ , den form som H⁺ antar i vatten) det mått som kallas pH. Hydroniumjonernas aktivitet i neutralt vatten är 10⁻⁷ mol/L vid 25 °C, vilket ger ett pH-värde på 7. (Detta beror på att jämviktskonstanten, produkten av koncentrationen av hydroniumjoner och hydroxyljoner, i vattenlösningar är 10⁻¹⁴ M² ).
• Richterskalan mäter jordbävningsintensiteten på en logaritmisk skala med bas 10.
• Inom astronomin mäter den synliga magnituden stjärnornas ljusstyrka logaritmiskt, eftersom ögat också reagerar logaritmiskt på ljusstyrka.
• Musikaliska intervaller mäts logaritmiskt som halvtoner. Intervallet mellan två toner i halvtoner är bas-2^1/12 logaritmen av frekvensförhållandet (eller motsvarande 12 gånger bas-2 logaritmen). Fraktionella halvtoner används för icke jämna temperament. Särskilt för att mäta avvikelser från den jämntempererade skalan uttrycks intervallen också i cent (hundradelar av en jämntempererad halvton). Intervallet mellan två toner i cent är bas-2^1/1200 logaritmen av frekvensförhållandet (eller 1200 gånger bas-2 logaritmen). I MIDI är noterna numrerade på halvtonsskalan (logaritmisk absolut nominell tonhöjd med C i mitten på 60). För mikrosättning till andra stämningssystem definieras en logaritmisk skala som fyller ut områdena mellan halvtonerna i den jämntempererade skalan på ett kompatibelt sätt. Denna skala motsvarar notnumren för hela halvtoner. (se microtuning i MIDI Archived 2008-02-12 at the Wayback Machine).

Logaritmer till bas 10 kallas vanliga logaritmer. De skrivs vanligen utan basen. Till exempel:

log ( 100 ) = 2 {\displaystyle \log(100)=2\ }

Detta är sant eftersom:

10 2 = 100 {\displaystyle 10^{2}=100\ }
 

Logaritmer till basen e kallas naturliga logaritmer. Talet e är nästan 2,71828 och kallas också Eulerkonstanten efter matematikern Leonhard Euler.

De naturliga logaritmerna kan ha symbolerna log e ( x ) {\displaystyle \log _{e}(x)\,} eller ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)\,} . Vissa författare föredrar att använda naturliga logaritmer som log ( x ) {\displaystyle \log(x)} , men nämner vanligtvis detta i förordet.

Logaritmer har många egenskaper. Till exempel:

Egenskaper från definitionen av en logaritm

Denna egenskap kommer direkt från definitionen av en logaritm:

log n ( n a ) = a {\displaystyle \log _{n}(n^{a})=a} Till exempel

log 2 ( 2 3 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(2^{3})=3} , och

log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\displaystyle \log _{2}{\bigg (}{\frac {1}{2}}}{\bigg )}=-1} , eftersom 1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}=2^{-1}}} .

Logaritmen till basen b av ett tal a är samma sak som logaritmen av a dividerat med logaritmen av b. Det vill säga,

log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) {\displaystyle \log _{b}(a)={\frac {\log(a)}{\log(b)}}}

Låt till exempel a vara 6 och b vara 2. Med hjälp av miniräknare kan vi visa att detta är sant (eller åtminstone mycket nära):

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\displaystyle \log _{2}(6)={\frac {\log(6)}{\log(2)}}}

log 2 ( 6 ) ≈ 2.584962 {\displaystyle \log _{2}(6)\approx 2.584962}

2.584962 ≈ 0.778151 0.301029 ≈ 2.584970 {\displaystyle 2.584962\approx {\frac {0.778151}{0.301029}}\approx 2.584970}

Resultaten ovan innehöll ett litet fel, men det berodde på avrundning av siffrorna.

Eftersom det är svårt att föreställa sig den naturliga logaritmen, finner vi den i termer av en bas-ten-logaritm:

ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0.434294 {\displaystyle \ln(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}\approx {\frac {\log(x)}{0.434294}}}} , där 0,434294 är en approximation för logaritmen av e.

Operationer inom logaritmargument

Logaritmer som multipliceras inom sitt argument kan ändras på följande sätt:

log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)}

Till exempel,

log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1=3}

På samma sätt kan en logaritm som dividerar inom argumentet omvandlas till en skillnad av logaritm (eftersom det är multiplikationens omvända operation):

log ( a b ) = log ( a ) - log ( b ) {\displaystyle \log {\bigg (}{\frac {a}{b}}{\bigg )}=\log(a)-\log(b)}

Logaritmtabeller, räknestickor och historiska tillämpningar

Innan elektroniska datorer användes logaritmer varje dag av forskare. Logaritmer hjälpte forskare och ingenjörer på många områden, t.ex. inom astronomi.

Före datorerna var logaritmtabellen ett viktigt verktyg. År 1617 tryckte Henry Briggs den första logaritmtabellen. Detta var kort efter Napiers grundläggande uppfinning. Senare gjorde människor tabeller med bättre räckvidd och precision. I dessa tabeller angavs värdena för log_b (x) och b^x för varje tal x inom ett visst intervall, med en viss precision, för en viss bas b (vanligen b = 10). Briggs första tabell innehöll till exempel de gemensamma logaritmerna för alla heltal i intervallet 1-1000, med en precision på 8 siffror.

Eftersom funktionen f(x) = b^x är den omvända funktionen av log_b (x) kallas den för antilogaritm. Människor använde dessa tabeller för att multiplicera och dividera tal. En användare slog till exempel upp logaritmen i tabellen för vart och ett av två positiva tal. Genom att addera talen från tabellen fick man logaritmen för produkten. Antilogaritmfunktionen i tabellen skulle sedan hitta produkten utifrån dess logaritm.

För manuella beräkningar som kräver precision är det mycket snabbare att göra uppslagen av de två logaritmerna, beräkna deras summa eller skillnad och söka upp antilogaritmen än att utföra multiplikationen på tidigare sätt.

Många logaritmetabeller anger logaritmer genom att separat ange x:s karakteristiska och mantisa, dvs. den heltalsmässiga delen och bråkdelen av log₁₀ (x). Karakteristiken för 10 - x är ett plus karakteristiken för x, och deras signifikanter är desamma. Detta utvidgar logaritmtabellernas räckvidd: med en tabell som listar log₁₀ (x) för alla heltal x från 1 till 1000, kan logaritmen av 3542 approximeras genom

log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354,2 ) = 1 + log 10 ( 354,2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\displaystyle \log _{10}(3542)=\log _{10}(10\cdot 354.2)=1+\log _{10}(354.2)\approx 1+\log _{10}(354).\,}

En annan viktig tillämpning var räknestickan, ett par logaritmiskt delade skalor som används för beräkningar, vilket illustreras här:

Siffror markeras på glidande skalor på avstånd som står i proportion till skillnaderna mellan deras logaritmer. Att flytta den övre skalan på lämpligt sätt är detsamma som att mekaniskt addera logaritmer. Om man till exempel adderar avståndet från 1 till 2 på den nedre skalan till avståndet från 1 till 3 på den övre skalan får man en produkt på 6, som avläses på den nedre delen. Många ingenjörer och vetenskapsmän använde räknestickor fram till 1970-talet. Forskare kan arbeta snabbare med hjälp av en räknesticka än med hjälp av en logaritmtabell.

• Euler-Mascheroni-konstanten
• Satsen om primtal