Riemannsumma – definition och beräkning av integraler
Lär dig Riemannsumma: definition, hur den beräknas och dess roll i integraler med tydliga exempel och steg-för-steg-förklaringar för studenter och lärare.
Inom matematiken är en Riemannsumma en summa som ger en approximation av den totala ytan under en kurva i en graf. Arean kan kallas för integralen. Den kan också användas för att definiera integrationsoperationen. Summan är uppkallad efter en tysk matematiker som hette Bernhard Riemann.
Definition
Givet en funktion f definierad på ett slutet intervall [a, b] delar man intervallet i n delintervall med ändpunkter a = x0 < x1 < ... < xn = b. För varje delintervall [x_{i-1}, x_i] väljer man en provpunkt ξ_i (någon punkt i delintervallet). En Riemannsumma för partitionen är då
S_n = Σ_{i=1}^n f(ξ_i) · Δx_i, där Δx_i = x_i − x_{i-1}.
Idén är att varje term f(ξ_i)·Δx_i representerar arean av ett rektangulärt stycke som approximativt täcker ytan under kurvan på det delintervallet.
Typer av Riemannsummor
- Vänstersumma: provpunkten ξ_i sätts till vänstra ändpunkten x_{i-1} i varje intervall.
- Högersumma: ξ_i är den högra ändpunkten x_i.
- Mittpunktsumma: ξ_i väljs som mittpunkten (x_{i-1}+x_i)/2.
- Övre och nedre Riemannsummor: använder supremum respektive infimum av f på varje delintervall för att få en övre respektive nedre uppskattning.
När blir gränsvärdet integralen?
Om man låter partitionens finhet (det största Δx_i, kallat partitionens norm) gå mot noll och om Riemannsummans värde när normen → 0 konvergerar till ett unikt tal oberoende av hur provpunkterna valts, så är f Riemannintegrerbar på [a,b]. Detta gränsvärde definieras som den bestämda integralen
∫_a^b f(x) dx = lim (norm→0) Σ_{i=1}^n f(ξ_i) Δx_i.
En viktig klass av funktioner som är Riemannintegrerbara är kontinuerliga funktioner på ett slutet intervall — alla sådana funktioner har en Riemannintegral.
Praktisk användning och tolkning
Riemannsummor används både för formell definition av integraler och som numerisk metod för att approximera integraler. I beräkningar väljer man ofta en likformig partition (alla Δx_i lika stora) och använder vänster-, höger- eller mittpunktsregeln eller mer avancerade kvadraturmetoder (t.ex. trapetsregeln eller Simpsons regel) som bygger vidare på samma idé.
Exempel: f(x) = x på [0,1]
Dela intervallet [0,1] i n lika stora delar så att Δx = 1/n. Vänstersumman blir
S_n = Σ_{i=0}^{n-1} (i/n)·(1/n) = (1/n^2) Σ_{i=0}^{n-1} i = (1/n^2)·(n(n−1)/2) = (n−1)/(2n).
När n → ∞ går detta mot 1/2. Högersumman ger (n+1)/(2n) som också går mot 1/2, så den bestämda integralen är 1/2, vilket stämmer med det analytiska resultatet ∫_0^1 x dx = 1/2.
Viktiga kommentarer
- Riemannsummor ger både ett teoretiskt fundament för integraler och en enkel metod för numerisk approximation.
- Inte alla funktioner är Riemannintegrerbara; exempelvis har vissa mycket våldsamma diskontinuiteter eller oändligt många diskontinuiteter på ett intervall inte Riemannintegraler.
- För bredare klasser av funktioner och mer kraftfulla verktyg används Lebesgue-integralen, men Riemannintegralen räcker för många praktiska tillämpningar.
Definition
Area = ∑ i = 1 n f ( y i ) ( x i - x i - 1 ) {\displaystyle {\text{Area}}=\sum _{i=1}^{n}f(y_{i})(x_{i}-x_{i-1})} 
Du delar upp den horisontella längden under den del av funktionen som du vill utvärdera i "n" lika stora delar. Det är n ovanpå Σ (den grekiska bokstaven sigma). (xi -xi-1 ) representerar storleken på ett horisontellt segment som skapas genom att dela helheten med "n". f(yi ) är ett y-värde i ett "n"-segment. Eftersom arean av en rektangel är längd × bredd är multiplikationen av xi och f(yi ) arean av en rektangel för den delen av grafen. Σ innebär att vi adderar alla dessa små rektanglar för att få en approximation av arean under segmentet för en funktion.
Sök