Inom matematiken är en Riemannsumma en summa som ger en approximation av den totala ytan under en kurva i en graf. Arean kan kallas för integralen. Den kan också användas för att definiera integrationsoperationen. Summan är uppkallad efter en tysk matematiker som hette Bernhard Riemann.

Definition

Givet en funktion f definierad på ett slutet intervall [a, b] delar man intervallet i n delintervall med ändpunkter a = x0 < x1 < ... < xn = b. För varje delintervall [x_{i-1}, x_i] väljer man en provpunkt ξ_i (någon punkt i delintervallet). En Riemannsumma för partitionen är då

S_n = Σ_{i=1}^n f(ξ_i) · Δx_i, där Δx_i = x_i − x_{i-1}.

Idén är att varje term f(ξ_i)·Δx_i representerar arean av ett rektangulärt stycke som approximativt täcker ytan under kurvan på det delintervallet.

Typer av Riemannsummor

  • Vänstersumma: provpunkten ξ_i sätts till vänstra ändpunkten x_{i-1} i varje intervall.
  • Högersumma: ξ_i är den högra ändpunkten x_i.
  • Mittpunktsumma: ξ_i väljs som mittpunkten (x_{i-1}+x_i)/2.
  • Övre och nedre Riemannsummor: använder supremum respektive infimum av f på varje delintervall för att få en övre respektive nedre uppskattning.

När blir gränsvärdet integralen?

Om man låter partitionens finhet (det största Δx_i, kallat partitionens norm) gå mot noll och om Riemannsummans värde när normen → 0 konvergerar till ett unikt tal oberoende av hur provpunkterna valts, så är f Riemannintegrerbar på [a,b]. Detta gränsvärde definieras som den bestämda integralen

∫_a^b f(x) dx = lim (norm→0) Σ_{i=1}^n f(ξ_i) Δx_i.

En viktig klass av funktioner som är Riemannintegrerbara är kontinuerliga funktioner på ett slutet intervall — alla sådana funktioner har en Riemannintegral.

Praktisk användning och tolkning

Riemannsummor används både för formell definition av integraler och som numerisk metod för att approximera integraler. I beräkningar väljer man ofta en likformig partition (alla Δx_i lika stora) och använder vänster-, höger- eller mittpunktsregeln eller mer avancerade kvadraturmetoder (t.ex. trapetsregeln eller Simpsons regel) som bygger vidare på samma idé.

Exempel: f(x) = x på [0,1]

Dela intervallet [0,1] i n lika stora delar så att Δx = 1/n. Vänstersumman blir

S_n = Σ_{i=0}^{n-1} (i/n)·(1/n) = (1/n^2) Σ_{i=0}^{n-1} i = (1/n^2)·(n(n−1)/2) = (n−1)/(2n).

När n → ∞ går detta mot 1/2. Högersumman ger (n+1)/(2n) som också går mot 1/2, så den bestämda integralen är 1/2, vilket stämmer med det analytiska resultatet ∫_0^1 x dx = 1/2.

Viktiga kommentarer

  • Riemannsummor ger både ett teoretiskt fundament för integraler och en enkel metod för numerisk approximation.
  • Inte alla funktioner är Riemannintegrerbara; exempelvis har vissa mycket våldsamma diskontinuiteter eller oändligt många diskontinuiteter på ett intervall inte Riemannintegraler.
  • För bredare klasser av funktioner och mer kraftfulla verktyg används Lebesgue-integralen, men Riemannintegralen räcker för många praktiska tillämpningar.