Integral

Antiderivativ

Enligt kalkylens fundamentala sats är integralen antiderivatan.

Om vi tar funktionen 2 x {\displaystyle 2x} , till exempel, och anti-differentierar den, kan vi säga att ett integral av 2 x {\displaystyle 2x} är x 2 {\displaystyle x^{2}}} . Vi säger en integral, inte integralen, eftersom antiderivatan av en funktion inte är unik. Till exempel, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} differentierar också till 2 x {\displaystyle 2x} . När man tar antiderivatan måste man därför lägga till en konstant C när man tar antiderivatan. Detta kallas ett obestämt integral. Detta beror på att när man hittar derivatan av en funktion är konstanterna lika med 0, som i funktionen

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} . Notera 0: vi kan inte hitta den om vi bara har derivatan, så integralen är

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} .

Enkla ekvationer

En enkel ekvation som y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} kan integreras med avseende på x med hjälp av följande teknik. För att integrera adderar du 1 till den potens som x höjs till och dividerar sedan x med värdet av denna nya potens. Därför följer integrationen av en normalekvation denna regel: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}}{n+1}}}+C}

D x {\displaystyle dx} i slutet visar att vi integrerar med avseende på x, det vill säga när x förändras. Detta kan ses som motsatsen till differentiering. Det finns dock en konstant, C, som läggs till när man integrerar. Denna kallas för integrationskonstanten. Detta krävs eftersom differentiering av ett heltal resulterar i noll, och därför ger integrering av noll (som kan sättas på slutet av varje integrand) ett heltal, C. Värdet av detta heltal kan hittas genom att använda givna villkor.

Ekvationer med fler än en term integreras helt enkelt genom att integrera varje enskild term:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\\,}^{\\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}}{3}}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C}

Integrering med e och ln

Det finns vissa regler för integrering med e och den naturliga logaritmen. Det viktigaste är att e x {\displaystyle e^{x}}} är integralen av sig själv (med tillägg av en integrationskonstant): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}

Den naturliga logaritmen, ln, är användbar när man integrerar ekvationer med 1 / x {\displaystyle 1/x} . Dessa kan inte integreras med hjälp av formeln ovan (addera ett till potensen, dividera med potensen), eftersom addering av ett till potensen ger 0, och en division med 0 är inte möjlig. Istället är integralen av 1 / x {\displaystyle 1/x} ln x {\displaystyle \ln x} : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}}dx=\ln x+C}

I en mer allmän form: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C}

De två vertikala staplarna anger ett absolut värde; tecknet (positivt eller negativt) för f ( x ) {\displaystyle f(x)} ignoreras. Detta beror på att det inte finns något värde för den naturliga logaritmen för negativa tal.

Summan av funktioner

Integralen av en summa av funktioner är summan av varje funktions integral, det vill säga,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} .

Beviset för detta är enkelt: Definitionen av en integral är en gräns för summor. Därför är

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\till \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)}

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})}

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*}})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})}

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx}

Observera att båda integralerna har samma gränser.

Konstanter i integrationen

När en konstant ingår i en integral med en funktion kan konstanten tas bort. När en konstant c inte åtföljs av en funktion är dess värde c * x. Det vill säga,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} och

Detta kan endast göras med en konstant.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)}

Beviset är återigen definitionen av en integral.

Övriga

Om a, b och c ligger i turordning (dvs. efter varandra på x-axeln) är integralen av f(x) från punkt a till punkt b plus integralen av f(x) från punkt b till c lika med integralen från punkt a till c. Det vill säga,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} om de är i ordning. (Detta gäller även när a, b, c inte är i ordning om vi definierar ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} .)

∫ a a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} . Detta följer kalkylens fundamentala sats (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} Återigen följer vi FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]}