Integral

I kalkylering är en integral utrymmet under en ekvations graf (ibland kallad "arean under en kurva"). Ett integral är motsatsen till en derivata och är motsatsen till differentialräkning. En derivat är en kurvas branthet (eller "lutning"), som förändringshastighet, av en kurva. Ordet "integral" kan också användas som ett adjektiv som betyder "relaterat till heltal".

Symbolen för integration i kalkyl är: ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}} $\int _{\,}^{\,}$ som ett högt "S". Symbolen användes först av Gottfried Wilhelm Leibniz, som använde den som ett stiliserat "ſ". (för summa, latin för summa) för att beteckna summeringen av den yta som täcks av en ekvation, till exempel y = f(x).

Integraler och derivat är en del av en gren av matematiken som kallas kalkyl. Kopplingen mellan dessa två är mycket viktig och kallas för kalkylens grundläggande sats. Satsen säger att en integral kan vändas med en derivat, på samma sätt som en addition kan vändas med en subtraktion.

Integration är till hjälp när man försöker multiplicera enheter i ett problem. Till exempel, om ett problem med hastighet, ( avstånd tid ) {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ , behöver ett svar med bara avstånd, är en lösning att integrera med avseende på tid. Detta innebär att multiplicera med tiden för att upphäva tiden i ( avstånd tid ) × tid {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}}} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . Detta görs genom att lägga ihop små delar av hastighetsgrafen. Skärvorna är nära noll i bredd, men genom att addera dem för alltid blir de sammanlagda till en helhet. Detta kallas för en Riemann-summa.

Genom att addera dessa skivor tillsammans får vi den ekvation som den första ekvationen är derivatan av. Integraler är som ett sätt att lägga ihop många små saker för hand. Det är som att summera, vilket är att addera 1 + 2 + 3 + 4.... + n {\displaystyle 1+2+3+4....+n} $1+2+3+4....+n$ . Skillnaden med integration är att vi också måste addera alla decimaler och bråk mellan dem.

En annan gång som integration är användbar är när du ska hitta volymen av ett fast ämne. Den kan addera tvådimensionella (utan bredd) skivor av soliden till varandra i all oändlighet tills det finns en bredd. Detta innebär att föremålet nu har tre dimensioner: de ursprungliga två och en bredd. Detta ger volymen för det beskrivna tredimensionella objektet.

Vad är integralen (animation)

Integration handlar om att hitta ytan s, givet a, b och y = f(x). Formeln för integralen från a till b, som är graferad ovan, är:
Formel: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Integrationsmetoder

Antiderivativ

Enligt kalkylens fundamentala sats är integralen antiderivatan.

Om vi tar funktionen 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ , till exempel, och anti-differentierar den, kan vi säga att ett integral av 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ är x 2 {\displaystyle x^{2}}} $x^{2}$ . Vi säger en integral, inte integralen, eftersom antiderivatan av en funktion inte är unik. Till exempel, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ differentierar också till 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ . När man tar antiderivatan måste man därför lägga till en konstant C när man tar antiderivatan. Detta kallas ett obestämt integral. Detta beror på att när man hittar derivatan av en funktion är konstanterna lika med 0, som i funktionen

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Notera 0: vi kan inte hitta den om vi bara har derivatan, så integralen är

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Enkla ekvationer

En enkel ekvation som y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ kan integreras med avseende på x med hjälp av följande teknik. För att integrera adderar du 1 till den potens som x höjs till och dividerar sedan x med värdet av denna nya potens. Därför följer integrationen av en normalekvation denna regel: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}}{n+1}}}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

D x {\displaystyle dx} $dx$ i slutet visar att vi integrerar med avseende på x, det vill säga när x förändras. Detta kan ses som motsatsen till differentiering. Det finns dock en konstant, C, som läggs till när man integrerar. Denna kallas för integrationskonstanten. Detta krävs eftersom differentiering av ett heltal resulterar i noll, och därför ger integrering av noll (som kan sättas på slutet av varje integrand) ett heltal, C. Värdet av detta heltal kan hittas genom att använda givna villkor.

Ekvationer med fler än en term integreras helt enkelt genom att integrera varje enskild term:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\\,}^{\\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}}{3}}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integrering med e och ln

Det finns vissa regler för integrering med e och den naturliga logaritmen. Det viktigaste är att e x {\displaystyle e^{x}}} $e^{x}$ är integralen av sig själv (med tillägg av en integrationskonstant): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Den naturliga logaritmen, ln, är användbar när man integrerar ekvationer med 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Dessa kan inte integreras med hjälp av formeln ovan (addera ett till potensen, dividera med potensen), eftersom addering av ett till potensen ger 0, och en division med 0 är inte möjlig. Istället är integralen av 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}}dx=\ln x+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

I en mer allmän form: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

De två vertikala staplarna anger ett absolut värde; tecknet (positivt eller negativt) för f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) ignoreras. Detta beror på att det inte finns något värde för den naturliga logaritmen för negativa tal.

Egenskaper

Summan av funktioner

Integralen av en summa av funktioner är summan av varje funktions integral, det vill säga,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Beviset för detta är enkelt: Definitionen av en integral är en gräns för summor. Därför är

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\till \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*}})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Observera att båda integralerna har samma gränser.

Konstanter i integrationen

När en konstant ingår i en integral med en funktion kan konstanten tas bort. När en konstant c inte åtföljs av en funktion är dess värde c * x. Det vill säga,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ och

Detta kan endast göras med en konstant.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Beviset är återigen definitionen av en integral.

Övriga

Om a, b och c ligger i turordning (dvs. efter varandra på x-axeln) är integralen av f(x) från punkt a till punkt b plus integralen av f(x) från punkt b till c lika med integralen från punkt a till c. Det vill säga,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ om de är i ordning. (Detta gäller även när a, b, c inte är i ordning om vi definierar ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .)

∫ a a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Detta följer kalkylens fundamentala sats (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Återigen följer vi FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Frågor och svar

F: Vad är en integral?

S: En integral är utrymmet under en graf av en ekvation, även känd som "arean under en kurva". Det är motsatsen till en derivat och ingår i en gren av matematiken som kallas kalkyl.

F: Hur ser symbolen för integration ut?

S: Symbolen för integration i kalkyl ser ut som ett högt "S": ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}.

F: Hur är integraler relaterade till derivat?

S: Integraler och derivat är kopplade till varandra genom kalkylens fundamentala sats som säger att ett integralvärde kan vändas med ett derivat, på samma sätt som en addition kan vändas med subtraktion.

F: När kan man använda integration?

S: Integration kan användas när man försöker multiplicera enheter i ett problem eller när man ska hitta volymen av ett fast ämne. Den hjälper till att addera tvådimensionella skivor till varandra tills det finns en bredd, vilket ger föremålet tre dimensioner och dess volym.

F: På vilket sätt liknar integration summering?

S: Integration liknar summering på så sätt att den adderar många små saker tillsammans, men med integration måste vi också addera alla decimaler och bråk mellan dem.

F: Vad betyder Riemannsumma?

S: En Riemann-summa innebär att man adderar små skivor av hastighetsgrafen tills de summerar till en hel ekvation.