Taxital – definition, exempel och historien bakom Ramanujan–Hardy
Upptäck taxitalens definition, konkreta exempel och den fascinerande Ramanujan–Hardy-historien — matematiken bakom tal som 1729 förklarad enkelt och engagerande.
Ett taxital (på engelska "taxicab number") är det minsta positiva heltal som kan uttryckas som summan av två positiva kuber på n olika sätt. Begreppet används av matematiker för att beskriva och klassificera sådana tal. Namnet har inget att göra med taxibilar — det kommer från en berömd konversation mellan två framstående matematiker: Godfrey Hardy och Srinivasa Ramanujan.
Definition och notering
Formellt kan man definiera taxitalet Ta(n) som det minsta heltal T för vilket det finns n par (a,b) med positiva heltal a ≤ b så att
T = a3 + b3
och där de n paren är olika i meningen att ingen av dem bara är en ordningsomkastning av någon annan. Ett viktigt kännetecken är alltså att ordningen av summanderna inte räknas som en ny representation.
Enkla exempel
- Ta(1) = 2: 2 = 13 + 13.
- Ta(2) = 1729: det mest kända exemplet. 1729 = 13 + 123 = 93 + 103.
Historien bakom 1729 (Ramanujan–Hardy)
Den berömda anekdoten berättas ofta: Godfrey Hardy besökte Ramanujan på sjukhus och nämnde att han kommit i en taxi med nummer 1729 — ett tydligt trivialt tal. Ramanujan svarade att 1729 var ett mycket intressant tal eftersom det är det minsta tal som kan uttryckas som summan av två kuber på två olika sätt. Denna korta konversation är anledningen till att 1729 ofta kallas Ramanujan–Hardy‑talet eller helt enkelt "taxitalet" i populära skildringar.
Matematisk betydelse och generaliseringar
Taxital är intressanta av flera skäl:
- De kopplar till Diophantiska ekvationer av formen a3 + b3 = c3 + d3, som i sin tur relaterar till elliptiska kurvor och talteori.
- Värdena Ta(n) växer mycket snabbt med n och blir svåra att bestämma; för n ≥ 3 krävs ofta stor datorkraft och avancerade sökalgoritmer.
- Det finns flera varianter: man kan tillåta noll eller negativa tal (då talet ibland kallas ett "cabtaxi"-tal), eller studera summor av högre potenser (till exempel fjärdepotenser och så vidare).
Mer exempel och kända resultat
- Ta(3) är också känt och är betydligt större än 1729: 87 539 319 kan skrivas som summan av två kuber på tre olika sätt, till exempel
- 1673 + 4363 = 87 539 319
- 2283 + 4233 = 87 539 319
- 2553 + 4143 = 87 539 319
- För större n blir taxitalen mycket stora och bestäms ofta först genom omfattande datorberäkningar; forskare och entusiaster har hittat många sådana tal, men det finns inga enkla formler för Ta(n).
Sammanfattning
Taxital är en enkel att formulera men djup idé inom talteori: det handlar om att hitta tal som kan skrivas som summan av två kuber på flera olika sätt. Det mest kända exemplet är 1729, tack vare den klassiska anekdoten mellan Hardy och Ramanujan, men studiet av taxital leder vidare till intressanta och svåra problem i modern matematisk forskning.
Historien om Godfrey Hardys taxi
Godfrey Hardy var professor i matematik vid Cambridge University. En dag besökte han en vän, den briljanta unga indiska matematikern Srinivasa Ramanujan, som var sjuk. Båda männen var matematiker och tyckte om att tänka på siffror.
När Ramanujan hörde att Hardy hade kommit i en taxi frågade han honom vilket nummer taxin hade. Hardy svarade att det bara var ett tråkigt nummer: 1729. Ramanujan svarade att 1729 inte alls var ett tråkigt nummer: det var ett mycket intressant nummer. Han förklarade att det var det minsta talet som kunde uttryckas genom summan av två kuber på två olika sätt.
Denna berättelse är mycket känd bland matematiker. 1729 kallas ibland "Hardy-Ramanujan-talet".
Förklaring av Hardy-Ramanujans tal
- När ett visst tal multipliceras med sig självt kallas svaret för en "kvadrat", t.ex. 3x3=9, så talet 9 är en kvadrat.
- När ett visst tal multipliceras tre gånger med sig självt kallas svaret för en kub, t.ex. 3x3x3=27, så 27 är en kub.
- Ett annat exempel på en kub är 8, eftersom den är 2x2x2.
- 27+8=35, så 35 är "summan av två kuber" ("summa" betyder i denna mening "tal som adderas").
Det finns två sätt att säga att 1729 är summan av två kuber. 1x1x1=1; 12x12x12=1728. Så 1+1728=1729 Men också: 9x9x9=729; 10x10x10=1000. Så 729+1000=1729 Det finns andra tal som kan visas vara summan av två kuber på mer än ett sätt, men 1729 är det minsta av dem.
Kända taxinummer
Sedan det berömda samtalet mellan Hardy och Ramanujan har matematiker försökt hitta andra intressanta tal som är det minsta talet som kan uttryckas genom summan av två kuber på tre/fyra/fem olika sätt. Dessa tal är mycket, mycket stora och har hittats av datorer.
Hittills är följande sex taxinummer kända (sekvens A011541 i OEIS):
Ta ( 1 ) = 2 = 1 3 + 1 3 {\displaystyle \operatorname {Ta} (1)=2=1^{3}+1^{3}}} 
Ta ( 2 ) = 1729 = 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (2)&=&1729&=&1^{3}+12^{3}\\\&&&=&9^{3}+10^{3}\end{matrix}}} 
Ta ( 3 ) = 87539319 = 167 3 + 436 3 = 228 3 + 423 3 = 255 3 + 414 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (3)&=&87539319&=&167^{3}+436^{3}\\&&&=&228^{3}+423^{3}\\&&&=&255^{3}+414^{3}\end{matrix}}} 
Ta ( 4 ) = 6963472309248 = 2421 3 + 19083 3 = 5436 3 + 18948 3 = 10200 3 + 18072 3 = 13322 3 + 16630 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (4)&=&6963472309248&=&2421^{3}+19083^{3}\\&&&=&5436^{3}+18948^{3}\\&&&=&10200^{3}+18072^{3}\\&&&=&13322^{3}+16630^{3}\end{matrix}}} 
Ta ( 5 ) = 48988659276962496 = 38787 3 + 365757 3 = 107839 3 + 362753 3 = 205292 3 + 342952 3 = 221424 3 + 336588 3 = 231518 3 + 331954 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (5)&=& 48988659276962496&&=&38787^{3}+365757^{3}\\&&&=&107839^{3}+362753^{3}\\&&&=&205292^{3}+342952^{3}\\&&&=&221424^{3}+336588^{3}\\&&&=&231518^{3}+331954^{3}\end{matrix}}} 
Ta ( 6 ) = 24153319581254312065344 = 582162 3 + 28906206 3 = 3064173 3 + 28894803 3 = 8519281 3 + 28657487 3 = 16218068 3 + 27093208 3 = 17492496 3 + 26590452 3 = 18289922 3 + 26224366 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (6)&=&24153319581254312065344&=&582162^{3}+28906206^{3}\\&&&=&3064173^{3}+28894803^{3}\\&&&=&8519281^{3}+28657487^{3}\\&&&=&16218068^{3}+27093208^{3}\\&&&=&17492496^{3}+26590452^{3}\\&&&=&18289922^{3}+26224366^{3}\end{matrix}}} 
Sök