Trigonometri

Trigonometri (från grekiskans trigonon = tre vinklar och metron = mått) är en del av grundmatematiken som handlar om vinklar, trianglar och trigonometriska funktioner som sinus (förkortat sin), cosinus (förkortat cos) och tangent (förkortat tan). Den har en viss koppling till geometri, även om det råder oenighet om exakt vilken denna koppling är; för vissa är trigonometri bara en del av geometri.

Översikt och definitioner

Trigonometrin använder ett stort antal specifika ord för att beskriva delar av en triangel. Några av definitionerna inom trigonometrin är:

Rätvinklig triangel - En rätvinklig triangel är en triangel som har en vinkel som är lika med 90 grader. (En triangel kan inte ha mer än en rätvinklig vinkel) De vanliga trigonometriska förhållandena kan bara användas på rätvinkliga trianglar.
Hypotenusa - Hypotenusan i en triangel är den längsta sidan och den sida som är motsatt den räta vinkeln. För triangeln till höger är hypotenusan till exempel sidan c.
Motsatsen till en vinkel - Motsatsen till en vinkel är den sida som inte skär vinkelspetsen. Till exempel är sidan a motsatsen till vinkel A i triangeln till höger.
Angränsande sida till en vinkel - Den angränsande sidan till en vinkel är den sida som skär vinkelspetsen men som inte är hypotenusan. Till exempel är sidan b angränsande till vinkel A i triangeln till höger.

En vanlig rätvinklig triangel. C är den räta vinkeln i denna bild.

Trigonometriska förhållanden

Det finns tre huvudsakliga trigonometriska förhållanden för rätvinkliga trianglar och tre reciproka förhållanden till dessa förhållanden. Det finns totalt 6 förhållandetal. De är:

Sinus (sin) - Sinus av en vinkel är lika med den motsatta hypotenusen {\displaystyle {{\text{Opposite}} \over {\text{Hypotenuse}}}} ${{\text{Opposite}} \over {\text{Hypotenuse}}}$
Cosinus (cos) - Cosinus av en vinkel är lika med den angränsande hypotenusen {\displaystyle {{\text{Adjacent}} \over {\text{Hypotenuse}}}} ${{\text{Adjacent}} \over {\text{Hypotenuse}}}$
Tangent (tan) - Tangenten till en vinkel är lika med motsatsen till motsatsen till motsatsen {\displaystyle {{\text{Opposite}} \over {\text{Adjacent}}}} ${{\text{Opposite}} \over {\text{Adjacent}}}$

Motsatsen till dessa förhållanden är:

Cosecant (csc) - En vinkels cosecant är lika med hypotenusan motsatt {\displaystyle {{\text{Hypotenuse}} \over {\text{Opposite}}}} ${{\text{Hypotenuse}} \over {\text{Opposite}}}$ eller csc θ = 1 sin θ {\displaystyle \csc \theta ={1 \over \sin \theta }} $\csc \theta ={1 \over \sin \theta }$

Sekant (sec) - Sekanten av en vinkel är lika med hypotenusan angränsande {\displaystyle {{\text{Hypotenuse}} \over {\text{Adjacent}}}} ${{\text{Hypotenuse}} \over {\text{Adjacent}}}$ eller sec θ = 1 cos θ {\displaystyle \sec \theta ={1 \over \cos \theta }} $\sec \theta ={1 \over \cos \theta }$

Cotangent (cot) - En vinklas cotangent är lika med den angränsande motsatta {\displaystyle {{\text{Adjacent}} \over {\text{Opposite}}}} ${{\text{Adjacent}} \over {\text{Opposite}}}$ eller cot θ = 1 tan θ {\displaystyle \cot \theta ={1 \over \tan \theta }} $\cot \theta ={1 \over \tan \theta }$

Eleverna använder ofta en minnesanteckning för att komma ihåg detta förhållande. Förhållandet mellan sinus, cosinus och tangent i en rätvinklig triangel kan man komma ihåg genom att föreställa dem som bokstavssträngar, till exempel SOH-CAH-TOA:

Sinus = Motsatsen ÷ Hypotenusan

Cosinus = angränsande ÷ hypotenusa

Tangent = motsatt ÷ angränsande

Användning av trigonometri

Med hjälp av sinus och cosinus kan man besvara praktiskt taget alla frågor om trianglar. Detta kallas att "lösa" triangeln. Man kan räkna ut de återstående vinklarna och sidorna i en triangel så snart man känner till två sidor och deras ingående vinkel eller två vinklar och en sida eller tre sidor. Dessa lagar är användbara inom alla grenar av geometrin, eftersom varje polygon kan beskrivas som en kombination av trianglar.

Trigonometri är också viktig för mätning, vektoranalys och studier av periodiska funktioner.

Det finns också sfärisk trigonometri, som handlar om sfärisk geometri. Den används för beräkningar inom astronomi, geodesi och navigering.

Trigonometriska lagar

Linjelagen

a Sin A = b Sin B = c Sin C {\displaystyle {{\text{a}} \over {\text{Sin A}}}}={\text{b}} \over {\text{Sin B}}}={{\text{c}} \over {\text{Sin C}}}} ${{\text{a}} \over {\text{Sin A}}}={{\text{b}} \over {\text{Sin B}}}={{\text{c}} \over {\text{Sin C}}}$

Cosinuslagen

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos ( A ) {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(A)} $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(A)$

Tangenternas lag

a - b a + b = tan ( 1 2 ( A - B ) ) tan ( 1 2 ( A + B ) ) {\displaystyle {\frac {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan({\frac {1}{2}}}(A-B))}{\tan({\frac {1}{2}}(A+B))}}}} ${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan({\frac {1}{2}}(A-B))}{\tan({\frac {1}{2}}(A+B))}}$