Vad är Fouriertransform? Definition, formel och exempel

Fouriertransformen är en matematisk funktion som kan användas för att hitta de basfrekvenser som en våg består av. Föreställ dig att du spelar ett ackord på ett piano. När det spelas blandas ljuden från ackordets toner ihop och bildar en ljudvåg. Detta fungerar därför att var och en av de olika tonernas vågor interfererar med varandra genom att adderas eller upphävas vid olika punkter i vågen. En Fouriertransform tar denna komplexa våg och kan hitta de frekvenser som den består av, vilket innebär att den kan hitta de toner som ett ackord består av.

Utgången av en Fouriertransform kallas ibland för ett frekvensspektrum eller en frekvensfördelning eftersom den visar en fördelning av möjliga frekvenser för inmatningen. Denna funktion har många användningsområden inom kryptografi, oceanografi, maskininlärning, radiologi, kvantfysik samt ljuddesign och visualisering.

Fouriertransformen av en funktion f ( x ) {\displaystyle f(x)} , ibland skriven som F { f } {\displaystyle {\mathcal {F}}}\{f\}} , ges genom

F ( α ) = ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) e - 2 π i α x d x {\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}\,dx}

där:

• α {\displaystyle \alpha } är en frekvens.
• F ( α ) {\displaystyle F(\alpha )} är Fouriertransformationsfunktionen och returnerar ett värde som anger hur stor frekvens α {\displaystyle \alpha } är i den ursprungliga signalen.
• e - 2 π i α x {\displaystyle e^{-2\pi i\alpha x}} representerar att den ingående vågfunktionen f ( x ) {\displaystyle f(x)} lindas runt ursprunget i det komplexa planet vid en viss frekvens α {\displaystyle \alpha } .

Den omvända Fouriertransformen ges av

f ( x ) = ∫ - ∞ + ∞ F ( α ) e + 2 π i x α d α {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }\,d\alpha }

En Fouriertransform visar vilka frekvenser som finns i en signal. Tänk till exempel på en ljudvåg som innehåller tre olika musikaliska toner: A, B och C. Om man gör en graf över Fouriertransformen av denna ljudvåg (med frekvensen på x-axeln och intensiteten på y-axeln) kommer man att se en topp vid varje frekvens som motsvarar en av musiknoterna.

Många signaler kan skapas genom att addera cosinus och sinus med olika amplitud och frekvens. Fouriertransformen visar amplituderna och faserna för dessa cosinus och sinus mot deras respektive frekvenser.

Fouriertransformationer är viktiga eftersom många signaler blir mer begripliga när deras frekvenser separeras. I ljudexemplet ovan är det inte uppenbart att noterna A, B och C finns i signalen om man tittar på signalen i förhållande till tiden. Många system gör olika saker med olika frekvenser, så dessa typer av system kan beskrivas genom vad de gör med varje frekvens. Ett exempel på detta är ett filter som blockerar höga frekvenser.

Att beräkna en Fouriertransform kräver förståelse för integration och imaginära tal. Datorer används vanligen för att beräkna Fouriertransformationer av allt utom de enklaste signalerna. Fast Fourier Transform är en metod som datorer använder för att snabbt beräkna en Fouriertransform.

Mer om vad resultatet betyder

Fouriertransformen F(α) är generellt en komplex funktion. För varje frekvens α kan man:

• magnitude (|F(α)|) — visar styrkan eller amplituden hos den frekvenskomponenten (ibland kallat amplitud- eller spektraltäthet),
• fas (arg F(α)) — visar den relativa fasförskjutningen för den komponenten jämfört med ursprungsperioden.

Ofta visar man istället effektspektrumet eller power spectrum som |F(α)|^2 för att bedöma hur mycket energi som finns vid varje frekvens.

Viktiga egenskaper

Några av de centrala matematiska egenskaperna hos Fouriertransformen som gör den användbar i analys och systemteori:

• Linearitet: transformen av en summa är summan av transformerna.
• Tidsförskjutning (translation): en förskjutning i tid ger en fasfaktor i frekvensdomänen.
• Modulation (multiplikation med exponential): flyttar frekvensinnehållet (skalning i frekvensdomänen).
• Scaling: kompression i tid ger expansion i frekvens och vice versa.
• Konvolutionsteoremet: konvolution i tidsdomänen motsvarar multiplikation i frekvensdomänen — detta är centralt för filterdesign och signalbehandling.
• Parsevals sats: energin i tidsdomänen är densamma som energin i frekvensdomänen (upp till en konstantfaktor).

Praktiska aspekter och varianter

I praktiken arbetar man ofta med diskreta och ändliga tidsserier (inmätningsdata). Då används Diskret Fouriertransform (DFT) som räknar ut spektrumet för ett ändligt antal provpunkter. Den snabba algoritmen FFT (Fast Fourier Transform) beräknar DFT mycket effektivt och är standard i beräkningsprogramvara.

Några praktiska fenomen att känna till:

• Sampling och aliasing: När en signal samplas med en viss samplingsfrekvens gäller Nyquist‑kriteriet: signalens maxfrekvens måste vara under hälften av samplingsfrekvensen för att undvika aliasing.
• Frekvensupplösning kontra tidsupplösning: För korta tidsfönster får man sämre frekvensupplösning. Därför används STFT (Short-Time Fourier Transform) eller vågtransformer när man vill följa frekvensinnehåll över tid.
• Fönsterfunktioner: För att minska läckage i spektrumet används fönster (t.ex. Hamming, Hann) innan DFT beräknas.

Exempel och tillämpningar

Exempel på användning:

• Ljudanalys: identifiera vilka toner som finns i en inspelning (musik, talanalys).
• Bildbehandling: filtrering, kantdetektion och kompression (t.ex. DCT i JPEG är nära besläktad med Fourieranalys).
• Kommunikation: modulering och demodulering, spektrumanalys av radiosignaler.
• Medicinsk bildanalys: MRI använder Fouriertransformer för att återskapa bilder från mätdata.
• Spektroskopi: bestämma sammansättningen av ljuskällor eller material genom deras frekvenssignaturer.

En enkel intuitiv demonstration

Tänk dig en signal som verkligen oscillerar vid 3 Hz. Om man beräknar Fouriertransformen kommer man att se en tydlig topp vid 3 Hz. Om signalen istället innehöll komponenter vid 3 Hz och 5 Hz skulle man se två skilda toppar vid dessa frekvenser. De medföljande bilderna nedan illustrerar detta: originalfunktionen (oscillation vid 3 Hz), integrandens real- och imaginärdelar för en frekvens där signalen "passar" (3 Hz) respektive inte passar (5 Hz), och slutligen transformens toppar där 3 och 5 Hz markeras.

Avslutande kommentarer

Fouriertransformen är ett kraftfullt verktyg för att analysera signaler i frekvensdomänen. För att använda den praktiskt behöver man förstå grundläggande begrepp som sampling, fönsterfunktioner och aliasing. För mer avancerade tids‑frekvens‑analyser finns metoder som STFT och vågtransformer som kompletterar Fourieranalyser när signalens frekvensinnehåll förändras över tid.

Frågor och svar

Fråga: Vad är Fouriertransformationen?

F: Vilka är några användningsområden för Fouriertransformen?

F: Hur beräknas Fouriertransformen?

F: Hur ser resultatet av en Fouriertransform ut?

Fråga: Hur beräknar datorer snabba Fouriertransformationer?

F: Vad visar inte att titta på signaler med avseende på tid?

Sök med bokstav