Hilbertrum
Ett Hilbert-rum är ett matematiskt begrepp som täcker den extradimensionella användningen av det euklidiska rummet, dvs. ett rum med fler än tre dimensioner. Ett Hilbert-rum använder matematiken för två och tre dimensioner för att försöka beskriva vad som händer i mer än tre dimensioner. Det är uppkallat efter David Hilbert.
Vektoralgebra och kalkyl är metoder som normalt används i det tvådimensionella euklidiska planet och det tredimensionella rummet. I Hilbertrymder kan dessa metoder användas med ett ändligt eller oändligt antal dimensioner. En Hilbertrymd är en vektorrymd som har strukturen av en inre produkt som gör det möjligt att mäta längd och vinkel. Hilbertrymder måste också vara kompletta, vilket innebär att det måste finnas tillräckligt många gränser för att kalkylering ska fungera.
De tidigaste Hilbertrummen studerades under 1900-talets första decennium av David Hilbert, Erhard Schmidt och Frigyes Riesz. John von Neumann kom först med namnet "Hilbert Space". Hilbert space-metoderna gjorde stor skillnad för funktionsanalysen.
Hilbertrymder dyker upp ofta i matematik, fysik och teknik, ofta som oändligt dimensionella funktionsrymder. De är särskilt användbara vid studier av partiella differentialekvationer, kvantmekanik, Fourieranalys (som omfattar signalbehandling och värmeöverföring). Hilbertrymder används i ergodisk teori som är den matematiska grunden för termodynamiken. Alla normala euklidiska rum är också Hilbert-rum. Andra exempel på Hilbert-rum är utrymmen för kvadratiskt integrerbara funktioner, utrymmen för sekvenser, Sobolev-rum som består av generaliserade funktioner och Hardy-rum för holomorfa funktioner.
Hilbert-rum kan användas för att studera harmonier i vibrerande strängar.
Frågor och svar
F: Vad är ett Hilbert-rum?
S: Ett Hilbert-rum är ett matematiskt begrepp som använder matematiken i två och tre dimensioner för att försöka beskriva vad som händer i större än tre dimensioner. Det är ett vektorrum med en inre produktstruktur som gör det möjligt att mäta längd och vinkel, och det måste också vara fullständigt för att kalkyl ska fungera.
F: Vem namngav begreppet Hilbert-rum?
S: Begreppet Hilbert-rum studerades först i början av 1900-talet av David Hilbert, Erhard Schmidt och Frigyes Riesz. John von Neumann var den som kom på namnet "Hilbert Space".
F: Vilka är några tillämpningar av Hilbert-rummen?
S: Hilbert-rum används inom många områden, t.ex. matematik, fysik, teknik, funktionell analys, partiella differentialekvationer, kvantmekanik, Fourier-analys (som omfattar signalbehandling och värmeöverföring), ergodisk teori (den matematiska grunden för termodynamik), kvadratintegrerbara funktioner, sekvenser, Sobolev-rum som består av generaliserade funktioner, Hardy-rum för holomorfa funktioner.
F: Är alla normala euklidiska utrymmen också Hilberts utrymmen?
Svar: Ja - alla normala euklidiska rum anses också vara Hilbert-rum.
F: Hur gjorde Hilbert-rummen skillnad för funktionell analys?
Svar: Användningen av Hilbert-rum gjorde stor skillnad för funktionell analys genom att tillhandahålla nya metoder för att studera problem som rör detta område.
F: Vilken typ av matematik behöver man ha kunskap om när man arbetar med Hilbert Space?
S: Vektoralgebra och kalkyl används normalt när man arbetar med ett tvådimensionellt euklidiskt plan eller ett tredimensionellt rum. Dessa metoder kan dock också användas med ett ändligt eller oändligt antal dimensioner när man arbetar med ett Hilbert Space.
