AlegsaOnline.com

Cantors diagonalargument: definition, bevis och exempel

Upptäck Cantors diagonalargument: tydlig definition, steg-för-steg-bevis och illustrativa exempel som förklarar oändlighetskardinalitet.

Författare: Leandro Alegsa Skapandedatum: 18 juni 2022 Senast uppdaterad: 15 februari 2026

Cantors diagonalargument är en matematisk metod som används för att visa att vissa oändliga mängder inte kan listas eller sättas i bijektion med andra mängder — det vill säga att de har olika kardinaliteter. Metoden utvecklades av Cantor under andra halvan av 1800‑talet och finns beskriven i flera av hans artiklar. En välkänd och generell form av argumentet visar att ingen mängd kan vara i bijektion med sin egen potenmängd, vilket ger en generell separation mellan olika oändlighetsstorlekar.

Idén bakom diagonalargumentet

Grundidén är att, givet en lista (eller en påstådd avbildning) av element från en målmängd, konstruera ett nytt element som skiljer sig från varje listat element i åtminstone en bestämd position. Denna konstruktion brukar kallas att bygga en "antidiagonal" sekvens eller mängd. Eftersom det konstruerade elementet skiljer sig från varje rad i listan, kan det inte finnas med i listan — vilket ger en motsägelse om listan antogs vara fullständig.

Bevis — reella talen är icke uppräkneliga (standardexempel)

Det klassiska exemplet visar att mängden av reella tal i intervallet [0,1] inte kan uppräknas (dvs. det finns ingen bijektion mellan de naturliga talen och dessa reella tal). Bevisidén med binära eller decimala utvidgningar:

Antag motsatsen: att alla tal i [0,1] är uppräkneliga, så att de kan skrivas som en oändlig lista x1, x2, x3, ... .
Skriv varje xn i decimal- eller binärform som en oändlig följd av siffror (eller bitar) så att vi kan tala om den n:te siffran i xn.
Bygg nu ett nytt tal y genom att välja dess n:te siffra så att den skiljer sig från den n:te siffran i xn. Exempelvis: om den n:te siffran i xn är 5, kan vi sätta y:s n:te siffra till 4; om den är 0, välj 1 osv. (I binärt val: byt 0 ↔ 1.)
Genom konstruktionen skiljer sig y från varje xn i minst en position (den n:te), alltså kan y inte finnas i listan — motsägelse.

Observera en vanlig subtilitet: vissa tal har två olika decimalrepresentationer (t.ex. 0.4999... = 0.5000...). För att undvika denna tvetydighet kan man till exempel använda bara representationer som inte slutar med en ändlig följd av 9:or, eller arbeta i binärt och undvika representationer som slutar i oändliga 1:or. Ett annat sätt är att definiera antidiagonalen med hjälp av en liten ändring som inte kan ge en alternativ "ändlig‑repräsentation".

Cantors teorem (potenmängden är större)

Ett mer allmänt och elegant formellt resultat, ofta kallat Cantors teorem, visar att för vilken mängd S som helst är potenmängden P(S) (mängden av alla delmängder av S) strikt större än S själv, i meningen att det inte existerar någon surjektion f: S → P(S).

Bevis (diagonalargumentet i abstrakt form):

Antag att f: S → P(S) är en funktion som påstås vara surjektiv.
Definiera mängden D = { x ∈ S | x ∉ f(x) }. D är en delmängd av S, så om f är surjektiv finns ett a ∈ S med f(a) = D.
Ställ frågan: tillhör a mängden D? Om a ∈ D, så enligt definitionen av D måste a ∉ f(a) = D — motsägelse. Om a ∉ D, så enligt definitionen måste a ∈ f(a) = D — åter motsägelse.
Därmed finns ingen sådan surjektion f, och P(S) kan inte ha samma kardinalitet som S.

Exempel och konsekvenser

Rationella tal: mängden av rationella tal är uppräknelig (samma kardinalitet som naturliga tal). Ett standardbevis listar rationalerna som par av heltal och ordnar dem t.ex. enligt summan av absoluta värden eller genom en diagonalisering över ett rutnät utan att upprepa redan räknade element.
Reella tal: reella tal (t.ex. i [0,1]) är icke uppräkneliga — visar att reella tal har strikt större kardinalitet än de naturliga talen.
Potenmängder och större oändligheter: Cantors teorem ger att det finns oändligt många olika oändlighetsnivåer; från varje mängd S kan man bilda en större mängd P(S), och proceduren kan upprepas.
Tillämpningar i logik och datavetenskap: diagonalargument används i många områden: bevis av icke‑beräknelighet (Turing), Gödels ofullständighetssatser (diagonaliseringsidéer i logik), och för att konstruera motexempel i teori om beräkningar.

Sammanfattning och praktiska tips

Cantors diagonalargument är en generell metod för att visa att en lista av element inte kan vara fullständig genom att konstruera ett element som utesluter sig självt från listan.
Det mest kända resultatet är att reella tal är icke uppräkneliga, medan rationella tal är uppräkneliga.
Cantors teorem visar i allmänhet att ingen mängd kan vara i bijektion med sin potenmängd — potenmängden är alltid strikt större.

För vidare läsning kan man studera konkreta konstruktioner av uppräkningar av rationella tal, detaljerade varianter av diagonalargumentet för olika representationer (decimal, binär) och historiska artiklar av Cantor som behandlar dessa idéer.

Cantors första diagonalargument

I exemplet nedan används två av de enklaste oändliga mängderna, nämligen de naturliga talen och de positiva bråken. Tanken är att visa att båda dessa mängder, N {\displaystyle \mathbb {N} } $\mathbb {N}$ och Q + {\displaystyle \mathbb {Q^{{+}} } $\mathbb {Q^{+}}$ har samma kardinalitet.

Först anpassas bråken i en matris enligt följande:

1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 4 1 5 ⋯ 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 2 5 ⋯ 3 1 1 3 2 3 3 3 3 3 3 4 3 3 5 ⋯ 4 1 4 2 4 3 4 4 4 4 5 ⋯ 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccc}{\tfrac {1}{1}}&&{\tfrac {1}{2}}}&&&{\tfrac {1}{3}}}&&&{\tfrac {1}{4}}}&&{\tfrac {1}{4}}&&{\tfrac {1}{5}}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\\\{\tfrac {2}{1}}}&&{\tfrac {2}{2}{2}}}&&&{\tfrac {2}{3}}}&&{\tfrac {2}{4}}}&&&{\tfrac {2}{5}}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {3}{1}}}&&&{\tfrac {3}{2}}}&&{\tfrac {3}{3}}}&&&{\tfrac {3}{4}}}&&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&&\\\\tfrac {4}{1}}&&{\tfrac {4}{2}}}&&{\tfrac {4}{3}}}&&{\tfrac {4}{4}}}&&{\tfrac {4}{5}}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\\\{\tfrac {5}{1}}&&&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}}&&&{\tfrac {5}{4}}}&&{\tfrac {5}{5}}}&\cdots \\\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\end{array}}} ${\begin{array}{cccccccccc}{\tfrac {1}{1}}&&{\tfrac {1}{2}}&&{\tfrac {1}{3}}&&{\tfrac {1}{4}}&&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {2}{1}}&&{\tfrac {2}{2}}&&{\tfrac {2}{3}}&&{\tfrac {2}{4}}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {3}{1}}&&{\tfrac {3}{2}}&&{\tfrac {3}{3}}&&{\tfrac {3}{4}}&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}&&{\tfrac {4}{2}}&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {5}{1}}&&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}}$

Därefter räknas siffrorna, enligt bilden. Bråk som kan förenklas utelämnas:

1 1 ( 1 ) → 1 2 ( 2 ) 1 3 ( 5 ) → 1 4 ( 6 ) 1 5 ( 11 ) → ↙ ↙ 2 1 ( 3 ) 2 2 ( ⋅ ) 2 3 ( 7 ) 2 4 ( ⋅ ) 2 5 ⋯ ↓ ↙ 3 1 ( 4 ) 3 2 ( 8 ) 3 3 ( ⋅ ) 3 4 3 3 5 ⋯ ↙ 4 1 ( 9 ) 4 2 ( ⋅ ) 4 3 4 4 4 4 4 5 ⋯ ↓ 5 1 ( 10 ) 5 2 5 3 5 3 5 4 5 5 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{array}{lclclclclclc}{\tfrac {1}{1}}}\ _{\color {Blue}(1)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{\tfrac {1}{2}}}\ _{\color {Blue}(2)}&&&{\tfrac {1}{3}}}\ _{\color {Blue}(5)}&&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{\tfrac {1}{4}}}\ _{\color {Blue}(6)}&&&{\tfrac {1}{5}}}\ _{\color {Blue}(11)}&&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }\\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&\\\\{\tfrac {2}{1}}}\ _{\color {Blue}(3)}&&&{\tfrac {2}{2}}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&&{\tfrac {2}{3}}}\ _{\color {Blue}(7)}&&&{\tfrac {2}{4}}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&&{\tfrac {2}{5}}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&\\\\{\tfrac {3}{1}}}\ _{\color {Blue}(4)}&&&{\tfrac {3}{2}}}\ _{\color {Blue}(8)}&&&{\tfrac {3}{3}{3}}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&&{\tfrac {3}{4}}&&&{\tfrac {3}{5}}}&\cdots \\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}}\ _{\color {Blue}(9)}&&&{\tfrac {4}{2}}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&&{\tfrac {4}{3}}&&&{\tfrac {4}{4}}}}&&{\tfrac {4}{5}}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&&&\\\\{\tfrac {5}{1}}}\ _{\color {Blue}(10)}&&&{\tfrac {5}{2}}}&&&{\tfrac {5}{3}}}&&&{\tfrac {5}{4}}}&&&{\tfrac {5}{5}}}&\cdots \\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\end{array}}}} ${\begin{array}{lclclclclc}{\tfrac {1}{1}}\ _{\color {Blue}(1)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{\tfrac {1}{2}}\ _{\color {Blue}(2)}&&{\tfrac {1}{3}}\ _{\color {Blue}(5)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{\tfrac {1}{4}}\ _{\color {Blue}(6)}&&{\tfrac {1}{5}}\ _{\color {Blue}(11)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }\\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&\\{\tfrac {2}{1}}\ _{\color {Blue}(3)}&&{\tfrac {2}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{3}}\ _{\color {Blue}(7)}&&{\tfrac {2}{4}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&\\{\tfrac {3}{1}}\ _{\color {Blue}(4)}&&{\tfrac {3}{2}}\ _{\color {Blue}(8)}&&{\tfrac {3}{3}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {3}{4}}&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}\ _{\color {Blue}(9)}&&{\tfrac {4}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&&&\\{\tfrac {5}{1}}\ _{\color {Blue}(10)}&&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}}$

På så sätt räknas bråken:

1 2 3 4 4 5 6 7 8 9 10 10 11 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 1 2 2 2 3 1 3 1 4 2 3 3 3 2 4 5 1 5 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccccc}{color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{Färg färg av medelblått, nedåtgående pilar och färg av medelblått, nedåtgående pilar och färg av medelblått, nedåtgående pilar och färg av medelblått, nedåtgående pilar och färg av medelblått, nedåtgående pilar och färg av medelblått, nedåtgående pilar.{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]1&{\tfrac {1}{2}}}&2&3&&{\tfrac {1}{3}}}&{\tfrac {1}{4}}}&{\tfrac {2}{3}}}&{\tfrac {3}{2}}}&4&5&{\tfrac {1}{5}}}&\cdots \\\end{array}}} ${\begin{array}{cccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]1&{\tfrac {1}{2}}&2&3&{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&{\tfrac {3}{2}}&4&5&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\\end{array}}$

Genom att utelämna bråk som fortfarande kan förenklas finns det en övergång som associerar varje element i de naturliga talen med ett element i bråken:

För att visa att alla naturliga tal och bråk har samma kardinalitet måste elementet 0 läggas till; efter varje bråk läggs dess negativ till;

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 - 1 1 2 - 1 2 2 2 - 2 3 - 3 1 3 - 1 3 1 4 - 1 4 2 3 - 2 3 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}12}&{\color {Blue}13}&{\color {Blue}14}&{\color {Blue}15}&{\color {Blue}15}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{Färg färg: MidnightBlue Downarrow & MidnightBlue Downarrow & MidnightBlue Downarrow & MidnightBlue Downarrow & MidnightBlue Downarrow & MidnightBlue Downarrow & MidnightBlue Downarrow{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\\[3pt]0&1&-1&{\tfrac {1}{2}}}&-{\tfrac {1}{2}}}&&2&-2&3&-3&{\tfrac {1}{3}}&-{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}}&-{\tfrac {1}{4}}}&{\tfrac {2}{3}}&-{\tfrac {2}{3}}}&\cdots \\\\end{array}}}} ${\begin{array}{cccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}12}&{\color {Blue}13}&{\color {Blue}14}&{\color {Blue}15}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]0&1&-1&{\tfrac {1}{2}}&-{\tfrac {1}{2}}&2&-2&3&-3&{\tfrac {1}{3}}&-{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&-{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&-{\tfrac {2}{3}}&\cdots \\\end{array}}$

På så sätt finns det en fullständig bijektion som associerar en bråkdel till varje naturligt tal. Med andra ord: båda uppsättningarna har samma kardinalitet. Idag kallas mängder som har samma antal element som mängden naturliga tal för räknebara. Mängder som har färre element än de naturliga talen kallas högst räkningsbara. Med den definitionen är mängden rationella tal/bråk räknbara.

Oändliga mängder har ofta egenskaper som strider mot intuitionen: David Hilbert visade detta i ett experiment som kallas Hilberts paradox på Grand Hotel.

Reella tal

Mängden reella tal har inte samma kardinalitet som de naturliga talen; det finns fler reella tal än naturliga tal. Den idé som beskrivs ovan påverkade hans bevis. I sin artikel från 1891 betraktade Cantor mängden T av alla oändliga sekvenser av binära siffror (dvs. varje siffra är noll eller ett).

Han börjar med ett konstruktivt bevis för följande sats:

Om s₁ , s₂ , ... , s_n , ... är en uppräkning av element från T, finns det alltid ett element s i T som inte motsvarar något s_n i uppräkningen.

För att bevisa detta kan vi ge en uppräkning av element från T, som t.ex.

s₁ =	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	...)
s₂ =	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	...)
s₃ =	(0,	1,	0,	1,	0,	1,	0,	...)
s₄ =	(1,	0,	1,	0,	1,	0,	1,	...)
s₅ =	(1,	1,	0,	1,	0,	1,	1,	...)
s₆ =	(0,	0,	1,	1,	0,	1,	1,	...)
s₇ =	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0,	...)
...

Sekvensen s konstrueras genom att välja den första siffran som komplement till den första siffran i s₁ (genom att byta ut 0 mot 1 och vice versa), den andra siffran som komplement till den andra siffran i s₂ , den tredje siffran som komplement till den tredje siffran i s₃ , och i allmänhet för varje n, den n^th som komplement till den n^th siffran i s_n . I exemplet ger detta:

s₁	=	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	...)
s₂	=	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	...)
s₃	=	(0,	1,	0,	1,	0,	1,	0,	...)
s₄	=	(1,	0,	1,	0,	1,	0,	1,	...)
s₅	=	(1,	1,	0,	1,	0,	1,	1,	...)
s₆	=	(0,	0,	1,	1,	0,	1,	1,	...)
s₇	=	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0,	...)
...

s	=	(1,	0,	1,	1,	1,	0,	1,	...)

Genom konstruktionen skiljer sig s från varje s_n , eftersom deras n^th siffror skiljer sig åt (markerade i exemplet). Därför kan s inte förekomma i uppräkningen.

Baserat på denna sats använder Cantor sedan ett motsägelsebevis för att visa att:

Mängden T är oräknelig.

Han antar att T är räkningsbar, för att motbevisa detta. I så fall kan alla dess element skrivas som en uppräkning s₁ , s₂ , ... , s_n , ... ... . Om man tillämpar föregående sats på denna uppräkning skulle man få fram en sekvens s som inte hör till uppräkningen. s var dock ett element i T och borde därför finnas med i uppräkningen. Detta motsäger det ursprungliga antagandet, så T måste vara oräknelig.

Frågor och svar

F: Vad är Cantors diagonala argument?

S: Cantors diagonalargument är en matematisk metod för att bevisa att två oändliga mängder har samma kardinalitet.

F: När publicerade Cantor artiklar om sitt diagonalargument?

S: Cantor publicerade artiklar om sitt diagonalargument 1877, 1891 och 1899.

Fråga: Var publicerades Cantors första bevis för diagonalargumentet?

S: Cantors första bevis för diagonalargumentet publicerades 1890 i tidskriften för det tyska matematiska sällskapet (Deutsche Mathematiker-Vereinigung).

F: Enligt Cantor, när har två mängder samma kardinalitet?

S: Enligt Cantor har två mängder samma kardinalitet om det är möjligt att associera ett element från den andra mängden till varje element i den första mängden, och att associera ett element från den första mängden till varje element i den andra mängden.

F: Fungerar Cantors uttalande om kardinalitet bra för mängder med ett ändligt antal element?

S: Ja, Cantors påstående fungerar bra för mängder med ett ändligt antal element.

F: Är Cantors påstående om kardinalitet intuitivt för mängder med ett oändligt antal element?

S: Nej, Cantors påstående om kardinalitet är mindre intuitivt för mängder med ett oändligt antal element.

F: Hur många gånger publicerade Cantor artiklar om sitt diagonala argument?

S: Cantor publicerade artiklar om sitt diagonalargument tre gånger - 1877, 1891 och 1899.