David Hilbert (Königsberg, Preussen, 23 januari 1862 - Göttingen, Tyskland, 14 februari 1943) var en tysk matematiker, logiker och matematisk filosof. Han anses allmänt vara en av de mest inflytelserika och största matematikerna under 1800- och 1900-talet.
Biografi i korthet
Hilbert studerade vid universitetet i Königsberg och senare i Berlin, där han tog sin doktorsexamen 1885. År 1895 kallades han till Göttingen, som då var ett världsledande centrum för matematik, och där kom han att verka resten av sitt liv. Som professor i Göttingen byggde han upp en framstående skola av elever och medarbetare — bland dem fanns framstående matematiker som Emmy Noether, Hermann Weyl och flera andra som formade 1900-talets matematik.
Viktiga vetenskapliga bidrag
Hilbert upptäckte och utvecklade en rad grundläggande idéer inom många områden. Tidigt arbetade han med invariantteori och bevisade viktiga resultat som Hilberts basismatris/grundteorem (Hilbert's basis theorem), vilket fick stor betydelse inom algebraisk geometri och kommutativ algebra. Hans resultat ledde vidare till satsen Nullstellensatz och andra fundamentala verktyg för modern algebra.
Han arbetade med axiomisering av geometri — främst i verket Grundlagen der Geometrie (1899) — där han formulerade ett system av axiomer för euklidisk geometri och visade hur begrepp kan byggas konsekvent från axiom. Denna axiomatisk metod påverkade i hög grad senare matematik och logik.
Begreppet Hilbertrymd – en komplett inreproduktivt (inner product) rum av funktioner — gav en matematisk ram som senare blev central för funktionell analys och för den matematiska beskrivningen av kvantmekanik. Hilbert och hans skolor utvecklade spektralteori för självadjungerade operatorer, vilket är grundläggande i kvantteori och i studiet av differentialoperatorer.
Hilbert bidrog också stort till områden som variatonskalkyl, integralekvationer, algebraisk talteori och matematisk fysik. Många begrepp och resultat bär hans namn, t.ex. Hilberts schema och Hilberts problems.
Hilberts program och logik
Hilbert var en av grundarna av bevisteori och matematisk logik. I början av 1900-talet föreslog han ett ambitiöst forskningsprogram — känt som Hilberts program — med målet att ge matematik en fullständig, axiomatiskt baserad och konsekvent grund. Programmet syftade till att formellt härleda matematiken från ett litet antal axiomer och att använda finitära, oberoende metoder för att bevisa systemens konsistens.
Programmet påverkades starkt av Hilberts stöd för Georg Cantors mängdteori och hans tidiga åtskillnad mellan matematik och metamatematik — alltså studiet av matematikens egna formella system. Men Gödel:s ofullständighetssatser (1931) visade att för tillräckligt uttrycksfulla formella system (som inkluderar aritmetik) kan man inte få både fullständighet och konsekvens på det sätt Hilbert önskat; det satte i praktiken gränser för vad Hilberts program kunde uppnå i ursprunglig form.
Hilberts problem och inflytande
Vid den internationella matematikkongressen i Paris år 1900 presenterade Hilbert en lista med 23 öppna problem som skulle styra mycket av 1900-talets matematiska forskning. Dessa Hilberts problem stimulerade stora insatser och fortsätter att vara en viktig inspirationskälla inom matematikens olika grenar.
Arv och betydelse
Hilberts inflytande sträcker sig över teori och metod: från hårda algebraiska resultat som Hilberts basismatissats till de abstrakta ramverken i axiomatisk metod och funktionalanalys. Hans arbete är grundläggande för modern matematisk fysik, särskilt för den teoretiska beskrivningen av kvanttillstånd i Hilbertrum. Hans skolbildande roll i Göttingen och hans prioritering av stränga struktur- och axiomatiseringsmetoder formade generationer av matematiker.
Hilberts formuleringar och metoder lever vidare i dagens matematik och logik, och hans namn återfinns i en rad centrala begrepp och satser. Hans berömda optimism inför matematiken återges i citat som ofta återges i historiska sammanhang: “Wir müssen wissen — wir werden wissen!” (”Vi måste veta — vi kommer att veta!”), uttalat i en berömd föreläsning 1930.
Sammantaget står David Hilbert som en av de stora arkitekterna bakom den moderna matematikens struktur, med djupa bidrag både till teori och till den filosofiska förståelsen av matematiken.
