David Hilbert - Matematikens gigant: tysk matematiker, logiker och filosof
David Hilbert - tysk matematiker, logiker och filosof. Läs om hans banbrytande arbete inom Hilbertrum, axiomer, bevisteori och påverkan på modern matematik.
David Hilbert (Königsberg, Preussen, 23 januari 1862 - Göttingen, Tyskland, 14 februari 1943) var en tysk matematiker, logiker och matematisk filosof. Han anses allmänt vara en av de mest inflytelserika och största matematikerna under 1800- och 1900-talet.
Biografi i korthet
Hilbert studerade vid universitetet i Königsberg och senare i Berlin, där han tog sin doktorsexamen 1885. År 1895 kallades han till Göttingen, som då var ett världsledande centrum för matematik, och där kom han att verka resten av sitt liv. Som professor i Göttingen byggde han upp en framstående skola av elever och medarbetare — bland dem fanns framstående matematiker som Emmy Noether, Hermann Weyl och flera andra som formade 1900-talets matematik.
Viktiga vetenskapliga bidrag
Hilbert upptäckte och utvecklade en rad grundläggande idéer inom många områden. Tidigt arbetade han med invariantteori och bevisade viktiga resultat som Hilberts basismatris/grundteorem (Hilbert's basis theorem), vilket fick stor betydelse inom algebraisk geometri och kommutativ algebra. Hans resultat ledde vidare till satsen Nullstellensatz och andra fundamentala verktyg för modern algebra.
Han arbetade med axiomisering av geometri — främst i verket Grundlagen der Geometrie (1899) — där han formulerade ett system av axiomer för euklidisk geometri och visade hur begrepp kan byggas konsekvent från axiom. Denna axiomatisk metod påverkade i hög grad senare matematik och logik.
Begreppet Hilbertrymd – en komplett inreproduktivt (inner product) rum av funktioner — gav en matematisk ram som senare blev central för funktionell analys och för den matematiska beskrivningen av kvantmekanik. Hilbert och hans skolor utvecklade spektralteori för självadjungerade operatorer, vilket är grundläggande i kvantteori och i studiet av differentialoperatorer.
Hilbert bidrog också stort till områden som variatonskalkyl, integralekvationer, algebraisk talteori och matematisk fysik. Många begrepp och resultat bär hans namn, t.ex. Hilberts schema och Hilberts problems.
Hilberts program och logik
Hilbert var en av grundarna av bevisteori och matematisk logik. I början av 1900-talet föreslog han ett ambitiöst forskningsprogram — känt som Hilberts program — med målet att ge matematik en fullständig, axiomatiskt baserad och konsekvent grund. Programmet syftade till att formellt härleda matematiken från ett litet antal axiomer och att använda finitära, oberoende metoder för att bevisa systemens konsistens.
Programmet påverkades starkt av Hilberts stöd för Georg Cantors mängdteori och hans tidiga åtskillnad mellan matematik och metamatematik — alltså studiet av matematikens egna formella system. Men Gödel:s ofullständighetssatser (1931) visade att för tillräckligt uttrycksfulla formella system (som inkluderar aritmetik) kan man inte få både fullständighet och konsekvens på det sätt Hilbert önskat; det satte i praktiken gränser för vad Hilberts program kunde uppnå i ursprunglig form.
Hilberts problem och inflytande
Vid den internationella matematikkongressen i Paris år 1900 presenterade Hilbert en lista med 23 öppna problem som skulle styra mycket av 1900-talets matematiska forskning. Dessa Hilberts problem stimulerade stora insatser och fortsätter att vara en viktig inspirationskälla inom matematikens olika grenar.
Arv och betydelse
Hilberts inflytande sträcker sig över teori och metod: från hårda algebraiska resultat som Hilberts basismatissats till de abstrakta ramverken i axiomatisk metod och funktionalanalys. Hans arbete är grundläggande för modern matematisk fysik, särskilt för den teoretiska beskrivningen av kvanttillstånd i Hilbertrum. Hans skolbildande roll i Göttingen och hans prioritering av stränga struktur- och axiomatiseringsmetoder formade generationer av matematiker.
Hilberts formuleringar och metoder lever vidare i dagens matematik och logik, och hans namn återfinns i en rad centrala begrepp och satser. Hans berömda optimism inför matematiken återges i citat som ofta återges i historiska sammanhang: “Wir müssen wissen — wir werden wissen!” (”Vi måste veta — vi kommer att veta!”), uttalat i en berömd föreläsning 1930.
Sammantaget står David Hilbert som en av de stora arkitekterna bakom den moderna matematikens struktur, med djupa bidrag både till teori och till den filosofiska förståelsen av matematiken.
David Hilbert. Bilden togs 1912.
Skolan i Göttingen
År 1895 blev Hilbert ordförande i matematik vid universitetet i Göttingen, som vid den tiden var det bästa forskningscentret för matematik i världen. Han stannade kvar där resten av sitt liv. Bland hans elever fanns bl.a.: Hermann Weyl, schackmästaren Emanuel Lasker, Ernst Zermelo och Carl Gustav Hempel. John von Neumann var hans assistent. Vid universitetet i Göttingen omgavs Hilbert av en social krets med några av 1900-talets viktigaste matematiker, såsom Emmy Noether och Alonzo Church.
Axiom och problem
Hilberts axiom
Hilbert publicerade texten Grundlagen der Geometrie (Geometrins grunder) 1899. I den föreslogs en formell uppsättning, Hilberts axiom, i stället för Euklides traditionella axiom. De undviker svagheter i de av Euklides, vars verk vid den tiden fortfarande användes textbmathematics är hans presentation 1900 av en uppsättning problem som satte kursen för mycket av 1900-talets matematiska forskning.
Han lade fram ett antal olösta problem vid den internationella matematikkongressen i Paris 1900. Detta anses vara den mest framgångsrika och genomtänkta sammanställning av öppna problem som en enskild matematiker någonsin har gjort. Senare utökade han sin lista till 23 problem.
Hilberts program
År 1920 föreslog han uttryckligen ett forskningsprojekt inom metamatematik, som blev känt som Hilberts program. Han ville att matematiken skulle formuleras på en solid och fullständig logisk grund. Han trodde att detta i princip kunde göras genom att visa att:
- Hela matematiken följer av ett korrekt valt ändligt system av axiom, och
- Att något sådant axiomsystem är bevisbart konsekvent.
Han verkar ha haft både tekniska och filosofiska skäl för att formulera detta förslag.
Fysik
Efter 1912 vände sig Hilbert till fysiken. Vid den tiden arbetade han med allmän relativitetsteori och matematisk fysik. Hans arbete inom dessa områden är också viktigt.
Relaterade sidor
- Hilberts paradox på Grand Hotel, en meditation över det oändligas märkliga egenskaper, används ofta i populära beskrivningar av oändliga kardinaltal.
Frågor och svar
F: Vem är David Hilbert?
Svar: David Hilbert var en tysk matematiker, logiker och matematikfilosof.
F: Vad är David Hilbert känd för?
S: David Hilbert anses allmänt vara en av de mest inflytelserika och största matematikerna under 1800- och 1900-talet. Han upptäckte och utvecklade en rad grundläggande idéer på många områden, bland annat invariantteori, axiomisering av geometri och begreppet Hilbert-rum, som är en av grunderna för funktionell analys. Han bidrog också till bevisteori och matematisk logik och var en av grundarna av dessa områden.
F: Vad är Hilbert-rummet?
S: Hilbert space är ett begrepp som utvecklades av David Hilbert och är en av grunderna för funktionell analys. Det är en typ av rum som har vissa egenskaper som har att göra med dess dimensioner och inre produkt.
F: Vilket bidrag gav Hilbert till kvantmekaniken och den allmänna relativitetsteorin?
Svar: David Hilbert och hans elever levererade en stor del av den matematik som behövs för kvantmekaniken och den allmänna relativitetsteorin. Hilbert bidrog särskilt till utvecklingen av matematiken i teorierna om kvantmekanik och allmän relativitetsteori.
F: Vad är bevisteori?
S: Bevisteori är en gren av den matematiska logiken där man studerar matematiska bevis. David Hilbert var en av grundarna av bevisteorin och bidrog till dess utveckling.
F: Vad är skillnaden mellan matematik och metamatematik?
S: David Hilbert var en av de första som gjorde skillnad mellan matematik och metamatematik. Matematik handlar om att studera matematiska system och deras egenskaper, medan metamatematik handlar om att studera egenskaperna hos de matematiska systemen i sig själva.
F: Vad var Hilberts inställning till Georg Cantors mängdteori och transfinita tal?
S: David Hilbert var en anhängare av Georg Cantors mängdteori och transfinita tal. Han försvarade varmt Cantors idéer på dessa områden.
Sök