Hilberts paradox på Grand Hotel – paradoxen om ett fullt hotell

Normala hotell har ett visst antal rum. Detta antal är ändligt. När varje rum har tilldelats en gäst kan en ny gäst som vill ha ett rum och som ännu inte har ett rum inte få det - med andra ord är hotellet fullbokat.

Anta att det finns ett hotell med ett oändligt antal rum. Som en bekvämlighet har rummen nummer, det första rummet har nummer 1, det andra har nummer 2 och så vidare. Om alla rummen är fyllda kan det se ut som om inga fler gäster kan tas emot, som i ett hotell med ett ändligt antal rum. Detta är dock fel. Ett rum kan tillhandahållas för en annan gäst. Detta kan göras genom att flytta gästen i rum 1 till rum 2, gästen i rum 2 till rum 3 och så vidare. I det allmänna fallet kommer gästen i rum n att flyttas till rum n+1. När alla gäster har flyttats är rum 1 tomt och den nya gästen har nu ett rum att ta i anspråk. Detta visar hur vi kan hitta ett rum för en ny gäst även om hotellet redan är fullt, något som inte skulle kunna hända på något hotell med ett ändligt antal rum.

En annan sak som man kan göra med detta imaginära hotell är att fördubbla antalet personer som befinner sig där inne, även när alla rummen redan är fulla. Detta görs genom att be varje gäst att multiplicera sitt rumsnummer med två och flytta till det rummet (om deras tidigare rumsnummer var n, skulle de den här gången flytta till rum nummer 2n). Detta skulle skicka gästen i rum 1 till rum 2, gästen i rum 2 till rum 4, gästen i rum 3 till rum 6, gästen i rum 4 till rum 8 och så vidare. Efter att ha avslutat arbetet finner vi att alla rum med udda nummer är tomma. Då kan vi placera ett oändligt antal gäster i dessa tomma rum. Nu har antalet gäster på hotellet fördubblats utan att hotellet blivit större.

Gästen i rum 11 flyttar till rum 101. Den andra personen i grupp 5 (adress 5-2) skulle gå till rum 25.

Detta är egentligen ingen paradox, det är bara kontraintuitivt. På ett normalt hotell med ett begränsat antal rum är antalet rum med udda nummer mindre än det totala antalet rum. I Hilberts hotell verkar detta inte vara fallet.

Gäst 1 i grupp 2 i fordon 1 (1-2-1) går till rum 121.

Oändliga hangarfartyg med samma oändliga fordon.

Adress 4-7-7-7-4 går till rum 4774.

Oändliga rymdfarkoster av samma oändliga hangarfartyg.

Adress 0-1 (hotellboende) stannar kvar eftersom 1-0-0-0-0-1 flyttar till rum 10 001.

och så vidare.

Varje kapsel har plats för 10 personer.

Varje megapod rymmer 10 kapslar. (100 personer)

Varje supermegapod rymmer 10 megapods. (1 000 personer)

Varje superdupermegapod rymmer 10 supermegapoder.

Varje ultrasuperdupermegapod rymmer 10 superdupermegapod.

Varje ultrasuperduperubermegapod rymmer 10 ultrasuperdupermegapods. (1 000 000 människor)

Och så vidare. Detta förutsätter att det aldrig finns ett oändligt antal lager. (Huvudskeppet)

Hilberts paradox är en veridisk paradox: den leder till ett motintuitivt resultat som är bevisbart sant. Påståendena "det finns en gäst i varje rum" och "inga fler gäster kan få plats" är inte likvärdiga när det finns oändligt många rum. En analog situation presenteras i Cantors diagonala bevis.

Till att börja med kan det här förhållandet verka kontraintuitivt. Egenskaperna hos "oändliga samlingar av saker" är helt annorlunda än hos "ändliga samlingar av saker". Paradoxen i Hilberts Grand Hotel kan förstås med hjälp av Cantors teori om transfinita tal. I ett vanligt (ändligt) hotell med fler än ett rum är antalet rum med udda nummer uppenbarligen mindre än det totala antalet rum. Men i Hilberts passande namn Grand Hotel är kvantiteten av ojämnt numrerade rum inte mindre än det totala "antalet" rum. I matematiska termer är kardinaliteten hos den delmängd som innehåller de udda rummen samma som kardinaliteten hos mängden av alla rum. Oändliga mängder kännetecknas av att de har egna delmängder med samma kardinalitet. För räknebara mängder (mängder med samma kardinalitet som de naturliga talen) är denna kardinalitet ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} .

Annorlunda uttryckt finns det en bijektiv funktion som för varje oändlig mängd som är avräknelig, som förvandlar den oändliga mängden till mängden naturliga tal, även om den oändliga mängden innehåller de naturliga talen. Till exempel innehåller mängden rationella tal - de tal som kan skrivas som en kvot av heltal - de naturliga talen som en delmängd, men är inte större än mängden naturliga tal eftersom de rationella talen är räknbara: det finns en bijektion från de naturliga talen till de rationella talen.