Bijektiv funktion

Inom matematiken är en bijektiv funktion eller bijektion en funktion f : A → B som är både en injektion och en surjektion. Detta innebär att det för varje element b i kodomänen B finns exakt ett element a i domänen A som gör att f(a)=b. Ett annat namn för bijektion är 1-1 korrespondens.

Termen bijektion och de relaterade termerna surjektion och injektion introducerades av Nicholas Bourbaki. På 1930-talet publicerade han och en grupp andra matematiker en serie böcker om modern avancerad matematik.

Grundläggande egenskaper

Formellt:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ är en bijektiv funktion om ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B} $\forall b\in B$ det finns en unik a ∈ A {\displaystyle a\in A} $a\in A$ så att f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } $f(a)=b\,.$

Elementet b {\displaystyle b} $b$ kallas bilden av elementet a {\displaystyle a} .

Den formella definitionen innebär: Varje element i kodomänen B är bilden av exakt ett element i domänen A.

Elementet a {\displaystyle a} kallas en förbild av elementet b {\displaystyle b} $b$ .

Den formella definitionen innebär: Varje element i kodomänen B har exakt en förbild i domänen A.

Anmärkning: Surjection innebär minst en förbild. Injektion innebär högst en förbild. Bijektion innebär alltså exakt en förbild.

Cardinality

Kardinalitet är antalet element i en mängd. Kardinaliteten för A={X,Y,Z,W} är 4. Vi skriver #A=4.

Definition: Två mängder A och B har samma kardinalitet om det finns en bijektion mellan mängderna. Så #A=#B betyder att det finns en bijektion från A till B.

Bijektioner och omvända funktioner

Bijektioner är inverterbara genom att vända på pilarna. Den nya funktionen kallas den omvända funktionen.

Formellt: Låt f : A → B vara en övergång. Den omvända funktionen g : B → A definieras genom att om f(a)=b, så är g(b)=a. (Se även omvänd funktion.)

Den omvända funktionen av den omvända funktionen är den ursprungliga funktionen.
En funktion har en omvänd funktion om och endast om den är en bijektion.

Anmärkning: Noteringen för f:s omvända funktion är förvirrande. Nämligen,

f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} $f^{-1}(x)$ betecknar den omvända funktionen av funktionen f, men x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$ betecknar det reciproka värdet av talet x.

Exempel

Elementära funktioner

Låt f(x):ℝ→ℝ vara en realvärdesfunktion y=f(x) för ett realvärdesargument x. (Detta innebär att både inmatningen och utmatningen är tal.)

Grafisk betydelse: Funktionen f är en bijektion om varje horisontell linje skär grafen för f i exakt en punkt.
Algebraisk betydelse: Funktionen f är en bijektion om vi för varje verkligt tal y_o kan hitta minst ett verkligt tal x_o så att y_o =f(x_o ) och om f(x_o )=f(x₁ ) betyder x_o =x₁ .

Att bevisa att en funktion är en bijektion innebär att bevisa att den är både en surjektion och en injektion. Formella bevis är därför sällan enkla. Nedan diskuterar vi och bevisar inte. (Se surjektion och injektion.)

Exempel: Den linjära funktionen av en sned linje är en bijektion. Det vill säga, y=ax+b där a≠0 är en bifunktion.

Diskussion: Varje horisontell linje skär en sned linje i exakt en punkt (se surjektion och injektion för bevis). Bild 1.

Exempel: Polynomfunktionen av tredje graden: f(x)=x³ är en bijektion. Bild 2 och bild 5: tunn gul kurva. Dess inversa är kubikrotsfunktionen f(x)= ∛x och det är också en bijektion f(x):ℝ→ℝ. Bild 5: tjock grön kurva.

Exempel: Den kvadratiska funktionen f(x) = x² är inte en bijektion (från ℝ→ℝ). Bild 3. Det är inte en surjektion. Det är inte en injektion. Vi kan dock begränsa både dess domän och koddomän till mängden icke-negativa tal (0,+∞) för att få en (inverterbar) bijektion (se exempel nedan).

Observera: Det sista exemplet visar detta. För att avgöra om en funktion är en bijektion måste vi veta tre saker:

domänen
funktionsmaskinen
kodomänen.

Exempel: Anta att vår funktionsmaskin är f(x)=x².

Denna maskin och domain=ℝ och codomain=ℝ är inte en surjektion och inte en injektion. Men,
samma maskin och domain=[0,+∞) och codomain=[0,+∞) är både en surjektion och en injektion och därmed en bijektion.

Bijektioner och deras inverser

Låt f(x):A→B där A och B är delmängder av ℝ.

Anta att f inte är en bijektion. För varje x där f:s derivata existerar och inte är noll, finns det ett grannskap till x där vi kan begränsa f:s domän och kodomän till att vara en bisektion.
De omvända funktionernas grafer är symmetriska i förhållande till linjen y=x. (Se även omvänd funktion.)

Exempel: Den kvadratiska funktionen definierad på den begränsade domänen och kodomänen [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} } $f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )$ definieras genom f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} $f(x)=x^{2}$

är en bijektion. Bild 6: tunn gul kurva.

Exempel: Kvadratrotsfunktionen definierad på den begränsade domänen och kodomänen [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} } $f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )$ definieras genom f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} $f(x)={\sqrt {x}}$

är den bijection som definieras som den inversa funktionen av den kvadratiska funktionen: x² . Bild 6: tjock grön kurva.

Exempel: Exponentialfunktionen definierad på området ℝ och det begränsade kodområdet (0,+∞).

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\,\rightarrow \,\,\,(0,+\infty )} } $f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )$ definierad genom f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,\,a>1} $f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1$

är en bijektion. Bild 4: tunn gul kurva (a=10).

Exempel: Den logaritmiska funktionen base a definieras på det begränsade området (0,+∞) och kodområdet ℝ.

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\mathbf {R} } } $f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R}$ definierad genom f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,\,a>1} $f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1$

är den bijektering som definieras som den omvända funktionen av exponentialfunktionen: a^x . Bild 4: tjock grön kurva (a=10).

Bijektion: Varje vertikal linje (i området) och varje horisontell linje (i kodområdet) skär exakt en punkt i grafen.

1. Bijektion. Alla snedstreckade linjer är bijektioner f(x):ℝ→ℝ.

2. Bijektion. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³.

3. Inte en bijektion. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² är inte en surjektion. Det är inte en injektion.

4. Bijektioner. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10^x (tunt gult) och dess inversa f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log₁₀ x (tjockt grönt).

5. Bijektioner. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (tunt gult) och dess invers f(x)=∛x (tjockt grönt).

6. Bijektioner. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (tunt gult) och dess inversa f(x)=√x (tjockt grönt).

Relaterade sidor

Frågor och svar

F: Vad är en bijektiv funktion?

S: En bijektiv funktion, även känd som en bijektion, är en matematisk funktion som är både en injektion och en surjektion.

F: Vad innebär det att en funktion är en injektion?

S: En injektion innebär att för två element a och a' i domänen A, om f(a)=f(a'), så är a=a'.

F: Vad innebär det att en funktion är en surjektion?

S: En surjektion innebär att för varje element b i kodomänen B, finns det minst ett element a i domänen A så att f(a)=b.

F: Vad är den ekvivalenta utsagan för en bijektion?

S: Det ekvivalenta påståendet för en bijektion är att för varje element b i kodomänen B, finns det exakt ett element a i domänen A så att f(a)=b.

F: Vad är ett annat namn för bijektion?

S: Bijektion är också känt som "1-1 korrespondens" eller "en-till-en korrespondens".

F: Vem introducerade termerna bijektion, surjektion och injektion?

S: Termerna bijektion, surjektion och injektion introducerades av Nicolas Bourbaki och en grupp andra matematiker på 1930-talet.

F: Vad publicerade Bourbaki och de andra matematikerna på 1930-talet?

S: Bourbaki och andra matematiker publicerade en serie böcker om modern avancerad matematik.