Cylinder (geometri och tillämpningar)

I vanligt språkbruk avses med cylinder en ändlig sektion av en rätcirkelformad cylinder, dvs. cylindern med de genererande linjerna vinkelräta mot basen, vars ändar är stängda så att de bildar två cirkulära ytor, som i figuren (till höger). Om cylindern har en radie r och en längd (höjd) h, ges dess volym av följande:

V = πr² h

och dess yta är:

• ytan av toppen (πr² ) +
• Bottenytan (πr² ) +
• området på sidan (2πrh).

Utan över- och undersida (sidoarea) är ytan därför:

A = 2πrh.

Med toppen och botten är ytan:

A = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h).

För en given volym har cylindern med den minsta ytan h = 2r. För en given yta har cylindern med den största volymen h = 2r, dvs. cylindern passar in i en kub (höjd = diameter).

Med en rätcirkelformad cylinder med en höjd på h enheter och en bas med radie r enheter med koordinataxlarna valda så att ursprunget är i mitten av den ena basen och höjden mäts längs den positiva x-axeln. En plan sektion på ett avstånd av x enheter från origo har en area av A(x) kvadratenheter där

A ( x ) = π r 2 {\displaystyle A(x)=\pi r^{2}}

eller .

A ( y ) = π r 2 {\displaystyle A(y)=\pi r^{2}}

Ett volymelement är en högercylinder med grundytan Aw_i kvadratenheter och tjockleken Δ_i x enheter. Om V kubik är volymen av den högra cirkulära cylindern, så är det alltså Riemannska summor,

V o l u m e av c y l i n d e r = lim | | Δ → 0 | | ∑ i = 1 n A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {Volym\;av\;cylinder} =\lim _{||\Delta \to 0||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫ 0 h A ( y ) 2 d y {\displaystyle =\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy}

= ∫ 0 h π r 2 d y {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r 2 h {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Med hjälp av cylindriska koordinater kan volymen beräknas genom integration över

= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz}

= π r 2 h {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

 

Cylindriska sektioner är cylinderns skärningspunkter med plan. För en rätcirkelformad cylinder finns det fyra möjligheter. Ett plan som tangerar cylindern möter cylindern i en enda rak linje. Om planet flyttas parallellt med sig självt skär det antingen inte cylindern eller skär den i två parallella linjer. Alla andra plan skär cylindern i en ellips eller, när de är vinkelräta mot cylinderns axel, i en cirkel.

En elliptisk cylinder, eller cylindroid, är en fyrkantig yta med följande ekvation i kartesiska koordinater:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1. {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}

Denna ekvation gäller en elliptisk cylinder, en generalisering av den vanliga cirkulära cylindern (a = b). Ännu mer generell är den generaliserade cylindern: tvärsnittet kan vara vilken kurva som helst.

Cylindern är en degenererad kvadrik eftersom minst en av koordinaterna (i det här fallet z) inte förekommer i ekvationen.

I en sned cylinder är över- och underytorna förskjutna från varandra.

Det finns andra mer ovanliga typer av cylindrar. Dessa är de imaginära elliptiska cylindrarna:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = - 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1}

den hyperboliska cylindern:

( x a ) 2 - ( y b ) 2 = 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}

och den paraboliska cylindern:

x 2 + 2 a y = 0. {\displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}