Hyperbel – konisk sektion: definition, egenskaper och exempel

En hyperbel är en typ av konisk sektion. Liksom de tre andra huvudtyperna av koniska sektioner — parabler, ellipser och cirklar — är en hyperbel en kurva som bildas av skärningen mellan en kon och ett plan. När planet skär båda napphalvorna av en dubbelkon uppstår två separata grenar av kurvan som är spegelbilder av varandra och öppnar sig i motsatta riktningar. Detta händer när vinkeln mellan konens axel och planet är mindre än vinkeln mellan en linje på konens sida och planet (se även begreppet vinkeln).

Egenskaper

• Grenar: En hyperbel består av två separata grenar, vardera oändlig i båda riktningar.
• Centrum och axlar: En standardhyperbel i plan har ett centrum (mitten mellan grenarna), en transversalaxel (som förbinder de två vertexarna) och en konjugataxel vinkelrät mot den.
• Standardform (centra i origo): En vanlig form är (x^2/a^2) − (y^2/b^2) = 1 (öppnar åt x-led) eller (y^2/a^2) − (x^2/b^2) = 1 (öppnar åt y-led). Här är a och b positiva konstanter.
• Foci: Hyperbeln har två foci belägna på transversalaxeln. Avståndet c från centrum till respektive fokus ges av c^2 = a^2 + b^2.
• Eccentricitet: Eccentriciteten e = c/a är alltid större än 1 för en hyperbel. Ju större e desto "smalare" blir grenarna.
• Vertices: Vertexerna ligger på transversalaxeln på avstånd a från centrum; avståndet mellan dem (transversalens längd) är 2a.
• Asymptoter: Hyperbelns grenar närmar sig två räta linjer (asymptoter) långt ut. För formen (x^2/a^2) − (y^2/b^2) = 1 är asymptoterna y = ±(b/a) x (om centrum i origo). Vid förskjutet centrum (h,k) blir asymptoterna y − k = ±(b/a)(x − h).
• Avståndsegenskap: För varje punkt på hyperbeln är den absoluta skillnaden mellan avstånden till de två foci konstant och lika med 2a. Detta är hyperbelns geometriska definition analogt med ellipsens summa av avstånd.
• Reflektionsegenskap: Ljus eller strålar som utgår från en fokus reflekteras så att de framstår som om de kommer från den andra fokusen — användbart i akustik och optik.

Standardformer och parametrisering

Vanliga algebraiska former:

• (x − h)^2/a^2 − (y − k)^2/b^2 = 1 — hyperbel med centrum i (h,k) och öppning i x-led.
• (y − k)^2/a^2 − (x − h)^2/b^2 = 1 — öppning i y-led.

Parametriskt kan en hyperbel beskrivas med t (reell parameter) som:

• x = a sec t, y = b tan t (för en gren) eller x = a cosh u, y = b sinh u med hyperboliska funktioner — beroende på vald parameterisering.

Exempel

En av de mest kända hyperblerna är grafen för funktionen f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x} . Detta är en så kallad rektangulär (eller liksidig) hyperbel symmetrisk kring origo, med koordinataxlarna som asymptoter.

Tillämpningar och förekomster i naturen

Hyperbler dyker upp i flera fysikaliska och tekniska sammanhang:

• Banor: I gravitationsteori och rymdfysik är hyperboliska banor de vägbanor som ett objekt följer om dess totala energi är positiv — det vill säga en öppen omloppsbana där objektet passerar en kropp bara en gång och sedan avviker för gott.
• Sundial: På ett solur kan spetsen av skuggans bana över tid följa en hyperbel under vissa förutsättningar.
• Teknik och arkitektur: Rotationen av en hyperbel ger en hyperboloid — en yta som förekommer i kylningstorn och vissa byggnader. (Observera skillnaden mellan hyperbel som en plan kurva och hyperboloid som en tredimensionell yta skapad genom rotation eller generering.)

Snabba fakta

• Eccentricitet: e > 1.
• Skillnad i avstånd till foci: |d(P, F1) − d(P, F2)| = 2a för alla punkter P på hyperbeln.
• Asymptoter: Väsentliga vid studier av kurvans beteende för stora |x| eller |y|.

Hyperbeln är därför både ett fundamentalt geometriskt objekt i matematiken och ett viktigt begrepp i naturvetenskap och teknik. Genom sina tydliga algebraiska och geometriska egenskaper blir den lätt att analysera och använda i praktiska tillämpningar.

Definitioner och ekvationer

De två oskiljaktiga kurvorna som bildar en hyperbel kallas armar eller grenar.

De två punkter där grenarna ligger närmast varandra kallas hörn. Linjen mellan dessa två punkter kallas tväraxeln eller huvudaxeln. Tväraxelns mittpunkt är hyperbelns centrum.

På stora avstånd från centrum närmar sig hyperbulans grenar två räta linjer. Dessa två linjer kallas för asymptoterna. När avståndet från centrum ökar kommer hyperbeln allt närmare asymptotterna, men skär dem aldrig.

Den konjugerade axeln eller lilla axeln är vinkelrät eller i rät vinkel mot den tvärgående axeln. Den konjugerade axelns ändpunkter ligger på den höjd där ett segment som skär toppen och är vinkelrätt mot tväraxeln skär asymptotorna.

En hyperbel som har sitt centrum i det kartesiska koordinatsystemets ursprung, vilket är punkten (0,0), och som har en tvärgående axel på x-axeln kan skrivas som ekvationen

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}}{a^{2}}}}-{\frac {y^{2}}}{b^{2}}}=1.}

a är avståndet mellan centrum och en hörnpunkt. Längden på den tvärgående axeln är lika med 2a. b är längden på ett vinkelrätt linjesträck från ett hörn till en asymptot. Längden på den konjugerade axeln är lika med 2b.

De två grenarna av hyperbola av ovanstående typ öppnas till vänster och höger. Om grenarna öppnas uppåt och nedåt och tväraxeln ligger på y-axeln kan hyperbeln skrivas som ekvationen

y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {y^{2}}}{a^{2}}}}-{\frac {x^{2}}}{b^{2}}}=1.}

Graf av en hyperbel (röda kurvor). Asymptoterna visas som blå streckade linjer. Centrum är märkt C och de två hörnpunkterna är belägna vid -a och a. Fokuspunkterna är märkta F1 och F2.

Frågor och svar

F: Vad är en hyperbel?

F: Hur skapar man en hyperbel?

F: Var kan vi hitta exempel på hyperbola i naturen?

F: Vilken ekvation beskriver ett välkänt exempel på en hyperbel?

Fråga: Vilka är några andra typer av koniska sektioner förutom hyperbola?

F: Hur skiljer sig dessa olika typer från varandra?

Sök med bokstav