Algebraisk ekvation
Inom matematiken är en algebraisk ekvation, även kallad polynomisk ekvation över ett givet fält, en ekvation av formen
P = Q {\displaystyle P=Q} 
där P och Q är polynomier över det fältet och har en (univariat) eller flera (multivariat) variabler. Till exempel:
y 4 + x y 2 = x 3 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}}={\frac {x^{3}}}{3}}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}} 
är en algebraisk ekvation över de rationella talen.
Två ekvationer kallas likvärdiga om de har samma uppsättning lösningar. Detta innebär att alla lösningar i den andra ekvationen också måste vara lösningar i den första ekvationen och vice versa. Ekvationen P = Q {\displaystyle P=Q} är likvärdig med P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}
. Studiet av algebraiska ekvationer är alltså likvärdigt med studiet av polynom.
Om en algebraisk ekvation är över de rationella talen kan den alltid omvandlas till en likvärdig ekvation där alla koefficienter är heltal. I ekvationen ovan multiplicerar vi till exempel med 42 = 2-3-7 och grupperar termerna i den första leden. Ekvationen omvandlas till
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
Lösningarna till en ekvation är de värden på variablerna för vilka ekvationen är sann. Men för algebraiska ekvationer finns det också så kallade rötter. När vi löser en ekvation måste vi säga i vilken uppsättning lösningarna är tillåtna. För en ekvation över de rationella talen kan man till exempel hitta lösningar i de hela talen. Då är ekvationen en diophantinisk ekvation. Man kan också leta efter lösningar i området för komplexa tal. Man kan också leta efter lösningar i reella tal.
Forntida matematiker ville ha lösningarna på univariata ekvationer (dvs. ekvationer med en variabel) i form av radikala uttryck, som x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{{\sqrt {5}}}}{2}}}}
för den positiva lösningen på x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}
. De gamla egyptierna visste hur man löser ekvationer av grad 2 (dvs. ekvationer där den högsta potensen av variabeln är 2) på detta sätt. Under renässansen löste Gerolamo Cardano ekvationen av grad 3 och Lodovico Ferrari ekvationen av grad 4. Slutligen bevisade Niels Henrik Abel 1824 att ekvationen av grad 5 och ekvationer av högre grad inte alltid kan lösas med hjälp av radikaler. Galois-teorin, uppkallad efter Évariste Galois, introducerades för att ge kriterier för att avgöra om en ekvation kan lösas med hjälp av radikaler.
Frågor och svar
F: Vad är en algebraisk ekvation?
S: En algebraisk ekvation är en ekvation av formen P = Q, där P och Q är polynomier över ett givet fält med en eller flera variabler.
F: Hur kan två ekvationer vara likvärdiga?
S: Två ekvationer anses vara likvärdiga om de har samma uppsättning lösningar, vilket innebär att alla lösningar för den ena måste vara lösningar för den andra och vice versa.
F: Vad innebär det att lösa en ekvation?
S: Att lösa en ekvation innebär att man hittar de värden för variablerna som gör ekvationen sann. Dessa värden kallas rötter.
Fråga: Kan algebraiska ekvationer över rationella tal alltid omvandlas till ekvationer med heltalskoefficienter?
Svar: Ja, genom att multiplicera båda sidorna med ett tal, till exempel 42 = 2-3-7, och genom att gruppera termerna i den första leden kan alla algebraiska ekvationer över rationella tal omvandlas till ekvationer med heltalskoefficienter.
Fråga: När ville gamla matematiker ha radikala uttryck för univariata ekvationer?
Svar: Forntida matematiker ville ha radikala uttryck (som x=1+√5/2) för univariata ekvationer (ekvationer med en variabel) under renässansen.
Fråga: Vem löste ekvationer av grad 3 och 4 under denna tid?
S: Gerolamo Cardano löste ekvationer av grad 3 och Lodovico Ferrari löste ekvationer av grad 4 under denna tid.
Fråga: Vem bevisade att ekvationer av högre grad inte alltid kan lösas med hjälp av radikaler?
Svar: Niels Henrik Abel bevisade 1824 att ekvationer av högre grad inte alltid kan lösas med hjälp av radikaler.
