Algebraiska ekvationer: definition, polynom, rötter och lösningar

Utforska algebraiska ekvationer: definition, polynom, rötter och lösningar. Få tydliga förklaringar, exempel och metoder för lösning i rationella, reella och komplexa tal.

Definition

Inom matematiken är en algebraisk ekvation, även kallad polynomisk ekvation över ett givet fält, en ekvation av formen

P = Q {\displaystyle P=Q}

där P och Q är polynomier över det fältet och har en (univariat) eller flera (multivariat) variabler. En algebraisk ekvation uttrycker alltså att två polynom antar samma värde för vissa val av variablerna.

Likvärdighet och polynomformen

Två ekvationer kallas likvärdiga om de har samma uppsättning lösningar. Genom att subtrahera fås alltid en ekvivalent form:

ekvationen P = Q {\displaystyle P=Q} är likvärdig med P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}.

Studiet av algebraiska ekvationer kan därför ofta reduceras till studiet av ett enda polynom f(variabler) = 0. För univariata polynom säger graden (högsta potensen) mycket om antalet rötter: enligt algebraens grundsats har ett polynom av grad n högst n komplexa rötter räknat med multipliciteter.

Exempel

Som exempel kan följande vara en algebraisk ekvation över de rationella talen:

y 4 + x y 2 = x 3 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}

Om ekvationen är definierad över de rationella talen kan man alltid multiplicera bort nämnare så att alla koefficienter blir heltal. I detta exempel kan man multiplicera med 42 (eftersom 42 = 2·3·7 är en gemensam nämnare) och sedan samla termer för att få en ekvivalent heltalsform:

42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0}

Rötter och lösningar

Lösningarna till en ekvation är de värden på variablerna för vilka ekvationen är sann. För algebraiska ekvationer talar man ofta om rötter (eng. roots) när det gäller univariata polynom, dvs. tal x som gör f(x)=0. Viktiga begrepp är:

• Mängd där man söker lösningar: en ekvation över de rationella talen kan exempelvis undersökas i heltal (då kallas den diophantinisk), i rationella tal, i reella tal eller i komplexa tal.
• Multiplicitet: en rot kan uppträda flera gånger (multiplicitet större än 1). Detta påverkar både algebraiska och numeriska metoder för att hitta rötter.
• Antal rötter: ett icke-konstant polynom av grad n har exakt n komplexa rötter om man räknar multiplicitet (fundamentala algebrans sats).

Lösningsmetoder för univariata ekvationer

Historiskt och praktiskt finns flera angreppssätt:

• Faktorisering och primfaktorer över lämpligt fält.
• Kvadratkomplettering och kvadratformeln för grad 2.
• Formler för grad 3 och 4 (Cardano, Ferrari) — dessa ger uttryck med radikaler i generella fall.
• Numriska metoder (Newton–Raphson, bisektion, kontinuerliga sökmetoder) när exakta uttryck saknas eller är opraktiska.
• Symboliska metoder som faktorering i datoralgebrasystem och resultatant/metoder för att eliminera variabler.

Lösbarhet med radikaler och Galois-teori

Forntida matematiker sökte uttryck för rötter i termer av rotuttryck (radikaler). Till exempel är den positiva lösningen av

x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{{\sqrt {5}}}}{2}}}

till ekvationen x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}.

Under renässansen löste Gerolamo Cardano allmänna kubiska ekvationer och Lodovico Ferrari behandlade den fjärde graden. Slutligen visade Niels Henrik Abel 1824 att det inte finns någon generell formel med endast radikaler för allmänna ekvationer av grad 5 eller högre. Évariste Galois utvecklade den teori (Galois-teorin) som ger kriterier för när ett polynom kan lösas med radikaler, genom att studera symmetrierna (Galoisgruppen) hos rötterna.

Multivariata ekvationer och algebraisk geometri

För flera variabler leder polynomekvationer till geometriska objekt: mängden lösningar i ett algebraiskt slutet fält (t.ex. komplexa tal) utgör en algebraisk varieté. Studiet av sådana system handlar om algebraisk geometri och använder verktyg som Gröbnerbaser och eliminationsmetoder för att hitta eller beskriva lösningsmängder.

Vidare begrepp och verktyg

• Irreducibla polynom: ett polynom som inte kan faktoriseras icke-trivielt över ett givet fält. Dessa spelar roll i faktorisering och i studiet av kroppsförlängningar.
• Algebraiska tal: komplexa tal som är rötter till ett icke-nolligt polynom med rationella (eller heltals-) koefficienter.
• Resultant och diskriminant: algebraiskt verktyg för att avgöra om två polynom har gemensam rot eller för att undersöka multipliciteter.
• Numeriska beräkningar: i praktiken används ofta numeriska algoritmer för att approximera rötter när exakta uttryck saknas eller är svåra att hantera.

Sammanfattningsvis kopplar algebraiska ekvationer samman polynomteori, talteori, algebraisk geometri och komplex analys. Beroende på i vilken mängd man söker lösningar (heltal, rationella, reella eller komplexa) och vilka verktyg som används, skiljer sig både problemformuleringen och tillgängliga lösningsmetoder.

Frågor och svar

F: Vad är en algebraisk ekvation?

F: Hur kan två ekvationer vara likvärdiga?

F: Vad innebär det att lösa en ekvation?

Fråga: Kan algebraiska ekvationer över rationella tal alltid omvandlas till ekvationer med heltalskoefficienter?

Fråga: När ville gamla matematiker ha radikala uttryck för univariata ekvationer?

Fråga: Vem löste ekvationer av grad 3 och 4 under denna tid?

Fråga: Vem bevisade att ekvationer av högre grad inte alltid kan lösas med hjälp av radikaler?

Sök med bokstav