N:te rot – definition, notation och egenskaper (kvadratrot & kubikrot)

En n:e rot av ett tal r är ett tal som, om det multipliceras med sig själv n gånger, ger r. Ett sådant uttryck kallas också för en radikal eller ett radikalt uttryck. Med andra ord finns ett tal k som uppfyller ekvationen

k n = r {\displaystyle k^{{n}=r}

Notation och exempel

Den n:te roten av r skrivs vanligen som

r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}} .

Om n = 2 kallas uttrycket en kvadratrot och man skriver ofta bara √r. Om n = 3 kallas det en kubikrot.

Ett enkelt exempel är

8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2} eftersom 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8}.

I sådana uttryck kallas r för radikand, n för index och den upphöjda delen med ett rutmönster eller krok kallas för radikalsymbol eller radikaltecken.

Principiell rot och tecken

För ett givet r finns ofta flera tal k som uppfyller kⁿ = r, särskilt i de komplexa talen. I reella sammanhang pratar man oftast om den principiella roten, som är:

• För jämna n (t.ex. kvadratrot) är den principiella roten icke-negativ (≥ 0). Exempel: √9 = 3 (inte −3 när man menar den principiella roten).
• För udda n (t.ex. kubikrot) finns exakt en reell rot för varje reellt tal r, och den kan vara negativ om r är negativ. Exempel: ∛(−8) = −2.

Om man går till komplexa tal finns exakt n olika n:te rötter (räknat med multiplicitet). Dessa kan skrivas i polär form med hjälp av vinklar (argument).

Egenskaper och när de gäller

Radikaler och potenser kan uttryckas med varandra genom rationella exponenter. De här sambanden är användbara men gäller under vissa förutsättningar:

x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}}} .

Notera villkoren:

• För reella tal och rationella exponenter är det vanligt att kräva x ≥ 0 när nämnaren i exponenten (t.ex. b ovan) är jämn, för att undvika icke-reella (komplexa) resultat.
• I uttryck där man byter ordning på potenser och rötter måste man vara försiktig med tecken (särskilt om x kan vara negativ) så att man väljer den korrekta grenen av roten.

Produktegenskap och kvotegenskap

Det finns praktiska regler för hur rötter hanterar produkter och kvoter, men de är giltiga under vissa förutsättningar (vanligtvis att radikanderna är icke-negativa för jämna index):

Produktegenskapen:

a b = a × b {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}}} .

Denna egenskap gäller när både a och b är icke-negativa (för kvadratrötter). För udda rötter kan regeln tillämpas även när faktorerna är negativa.

Kvotegenskapen:

a b = a b {\displaystyle {\sqrt {\frac {\frac {a}{b}}}}={\frac {\sqrt {a}}}{\sqrt {b}}}} .

Återigen: kräver vanligtvis a ≥ 0 och b > 0 när index är jämnt.

Förenkling av rötter och rationella exponenter

• En rot kan förenklas genom att faktorisera radikanden. Exempel: √72 = √(36·2) = √36·√2 = 6√2.
• Radikaler skrivs ofta om som potenser med rationella exponenter: √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3), och i allmänhet √[n]{x} = x^(1/n).
• Om uttrycket innehåller en rot i nämnaren kan man "rationalisera nämnaren" för att få bort roten därifrån (metod beror på index). Exempel: 1/√2 = √2/2.

Negativa tal och komplexa rötter

För jämna index finns ingen reell n:te rot till ett negativt tal; roten blir komplex. För udda index finns däremot alltid en reell rot även för negativa radikander (t.ex. ∛(−27) = −3).

Om man tillåter komplexa tal har varje icke-noll tal exakt n olika n:te rötter. De kan uttryckas som:

r^(1/n) · exp(i(θ+2kπ)/n) för k = 0, 1, ..., n−1, där r och θ är polära koordinater för talet i komplex form.

Sammanfattning

• En n:e rot är ett tal som upphöjt till n ger radikanden.
• Notation: √[n]{r}. Kvadratrot är n = 2, kubikrot n = 3.
• Rötter och potenser hänger samman via rationella exponenter: √[b]{x^a} = x^(a/b) under lämpliga villkor.
• Produktegenskapen och kvotegenskapen gäller i allmänhet när radikanderna är icke-negativa för jämna index.
• För negativa tal krävs komplexa rötter om index är jämnt; för udda index finns alltid en reell rot.