Eugenio Beltrami (16 november 1835 – 18 februari 1900) var en italiensk matematiker känd för sitt banbrytande arbete inom icke-euklidisk geometri och för bidrag inom teorier om elektricitet och magnetism. Han föddes i Cremona i Lombardiet, som då var en del av det österrikiska kejsardömet och numera en del av Italien.
Utbildning och akademisk karriär
Beltrami började studera matematik vid universitetet i Pavia 1853, men tvingades 1856 avbryta sina studier på grund av ekonomiska svårigheter. Trots detta fortsatte han sitt matematiska arbete och publicerade sin första uppsats 1862, samma år som han utnämndes till professor vid Bolognas universitet. Han undervisade senare vid universiteten i Pisa, Rom och åter i Pavia. Beltrami var verksam inom flera områden av matematiken, bland annat differentialgeometri, teori för ytor och differentialekvationer, och behandlade även problem knutna till fysikaliska fenomen som elektricitet och magnetism.
Bidrag till icke-euklidisk och hyperbolisk geometri
År 1868 publicerade Beltrami den inflytelserika studien Saggio di interpretazione della geometria non euclidea (på engelska ofta citerad som Essay on an interpretation of non-Euclidean geometry). I denna gav han den första konkreta modellen av hyperbolisk geometri genom att visa hur hyperboliska "linjer" kan representeras av geodetiska kurvor på en yta med konstant negativ krökning, den så kallade pseudosfären. Pseudosfären är en rotationsyta med konstant negativ Gaussisk krökning (uppbyggd bland annat ur traktrixen) och på den stämmer den lokala geometri med hyperbolisk geometri.
Beltramis konstruktion innebar något fundamentalt: genom att ge en modell där hyperbolisk geometri tolkades inuti den vanliga (euklidiska) geometrins ramverk, visade han att Euklids parallellpostulat inte kan härledas från de övriga axiomen utan att leda till motsägelse. Med andra ord gav hans modell ett relativt konsistensbevis — om den euklidiska geometrin är fri från motsägelser, så är även den hyperboliska geometrin det.
Vidare utveckling och påverkan
Förutom pseudosfärmodellen beskrev Beltrami även en modell som senare kallats Beltrami–Klein-modellen, där hyperboliska geodetiska motsvaras av räta linjer (kordor) i enhetscirkeln i ett projektivt perspektiv. Hans arbete inspirerade och banade väg för senare utvecklingar av hyperbolisk geometri, bland andra Felix Klein och Henri Poincaré, som formulerade alternativa modeller (disk- och halvplansmodellerna) och utvecklade teorin vidare både geometriskt och analytiskt.
Betydelse och arv
Beltramis insatser förändrade den matematiska synen på geometri: från att tidigare ha ansetts som en enda "sann" geometri till att erkänna flera koherenta geometriska system, var och en med sina egna axiomsystem. Hans metoder, som kopplade ihop differentialgeometri och projektiv geometri med axiomatiska frågor, påverkade såväl rent teoretiska framsteg som tillämpningar i fysik. Han avled i Rom 1900, och räknas i dag som en av de centrala pionjärerna i studiet av icke-euklidiska rum.
Sammanfattningsvis var Eugenio Beltrami en nyckelfigur som med tydliga modeller visade hyperbolisk geometrits giltighet och därigenom säkrade dess ställning som ett fullvärdigt matematiskt system. Hans arbete fortsätter att vara grundläggande för modern geometri och dess tillämpningar.