Parallell postulat

Inom geometrin är parallellpostulatet ett av axiomen i euklidisk geometri. Ibland kallas det också för Euklids femte postulat, eftersom det är det femte postulatet i Euklids Elementar.

Postulatet säger att:

Om du skär ett linjesträck med två linjer och de två inre vinklarna som linjerna bildar är mindre än 180°, kommer de två linjerna att mötas om du förlänger dem tillräckligt länge.

Den geometri som följer alla Euklids axiom kallas euklidisk geometri. Geometrier som inte följer alla Euklids axiom kallas icke-euklidisk geometri.

Om summan av de inre vinklarna α (alfa) och β (beta) är mindre än 180° kommer de två linjerna att skära varandra någonstans, om båda förlängs till oändligheten.Zoom
Om summan av de inre vinklarna α (alfa) och β (beta) är mindre än 180° kommer de två linjerna att skära varandra någonstans, om båda förlängs till oändligheten.

Historia

Vissa matematiker ansåg att Euklides femte postulat var mycket längre och mer komplicerat än de fyra andra postulaten. Många av dem trodde att det kunde bevisas utifrån de andra enklare axiomen. Några matematiker meddelade att de hade bevisat satsen från de enklare postulaten, men alla visade sig ha fel.

Playfairs axiom

En annan nyare sats som kallas Playfairs axiom liknar Euklids femte postulat. Det säger att:

Om du har en rät linje och en punkt som inte ligger på linjen kan du bara dra en rät linje genom denna punkt som inte möter den andra rät linjen.

Matematikerna upptäckte faktiskt att detta axiom inte bara liknar Euklids femte postulat utan har exakt samma innebörd. Matematiskt sett kallas de två påståendena för "likvärdiga" påståenden. I dag används Playfairs axiom oftare av matematiker än Euklids ursprungliga parallella postulat.

Icke-euklidisk geometri

Så småningom försökte några matematiker bygga nya geometrier utan att använda axiomet. En typ av icke-euklidisk geometri kallas elliptisk geometri. I elliptisk geometri ersätts parallellpostulatet med ett axiom som säger att:

Med en rät linje och en punkt som inte ligger på linjen kan du inte rita en rät linje genom denna punkt som inte till slut korsar den andra rät linjen.

Matematikerna upptäckte att när de ersatte Euklids femte postulat med detta axiom kunde de fortfarande bevisa många av Euklids andra satser. Ett sätt att föreställa sig elliptisk geometri är att tänka på ytan av en jordglob. På en jordglob verkar längdlinjerna vara parallella vid ekvatorn, men de möts alla vid polerna. I slutet av 1800-talet visade sig den elliptiska geometrin vara konsekvent. Detta bevisade att Euklids femte postulat inte var oberoende av de andra postulaten. Efter detta slutade matematikerna för det mesta att försöka bevisa det femte postulatet utifrån de fyra andra postulaten. I stället började många matematiker studera andra geometrier som inte följer Euklids femte postulat.

Ett annat axiom som matematiker ibland ersätter Euklids femte axiom med är följande:

Om du har en rät linje och en punkt som inte ligger på linjen, kan du rita minst två räta linjer genom denna punkt som inte korsar den andra räta linjen.

Detta kallas hyperbolisk geometri.

En annan geometri tar helt enkelt bort Euklids femte postulat och ersätter det inte med något annat. Detta kallas neutral geometri eller absolut geometri.


AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3