Hyperbolisk geometri: definition, egenskaper och verkliga exempel

Parallellpostulatet i euklidisk geometri säger att i det tvådimensionella rummet finns det för varje given linje l och punkt P som inte ligger på l exakt en linje genom P som inte skär l. Denna linje kallas parallell till l. I hyperbolisk geometri finns det minst två sådana linjer genom P. Eftersom de inte skär l är parallellpostulatet felaktigt. Inom den euklidiska geometrin har man konstruerat modeller som följer den hyperboliska geometrins axiom. Dessa modeller bevisar att det parallella postulatet är oberoende av de andra postulaten från Euklides.

Eftersom det inte finns någon hyperbolisk motsvarighet till euklidiska parallella linjer varierar den hyperboliska användningen av parallella och relaterade termer mellan olika författare. I denna artikel kallas de två begränsande linjerna asymptotiska och linjer som har en gemensam vinkelrätt kallas ultraparallella; det enkla ordet parallell kan gälla för båda.

En intressant egenskap hos den hyperboliska geometrin följer av att det finns mer än en parallell linje genom en punkt P: det finns två klasser av linjer som inte skär varandra. Låt B vara den punkt på l som gör att linjen PB är vinkelrät mot l. Betrakta linjen x genom P så att x inte skär l och vinkeln θ mellan PB och x moturs från PB är så liten som möjligt, dvs. att varje mindre vinkel tvingar linjen att skära l. Detta kallas en asymptotisk linje i hyperbolisk geometri. Symmetriskt sett kommer linjen y som bildar samma vinkel θ mellan PB och sig själv men medurs från PB också att vara asymptotisk. x och y är de enda två linjerna som är asymptotiska till l genom P. Alla andra linjer genom P som inte skär l, med vinklar som är större än θ med PB, kallas ultraparallella (eller disjunktert parallella) till l. Observera att eftersom det finns ett oändligt antal möjliga vinklar mellan θ och 90 grader, och var och en av dem kommer att bestämma två linjer genom P som är ojämnt parallella med l, finns det ett oändligt antal ultraparallella linjer.

Vi har alltså denna modifierade form av parallellpostulatet: I hyperbolisk geometri finns det, givet en linje l och en punkt P som inte ligger på l, exakt två linjer genom P som är asymptotiska till l, och oändligt många linjer genom P som är ultraparallella till l.

Skillnaderna mellan dessa typer av linjer kan också ses på följande sätt: avståndet mellan asymptotiska linjer går mot noll i ena riktningen och växer utan gräns i den andra, medan avståndet mellan ultraparallella linjer ökar i båda riktningarna. Den ultraparallella satsen säger att det finns en unik linje i det hyperboliska planet som är vinkelrät mot vart och ett av ett givet par ultraparallella linjer.

I euklidisk geometri är parallellitetsvinkeln en konstant, dvs. varje avstånd ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } mellan parallella linjer ger en parallellitetsvinkel på 90°. I hyperbolisk geometri varierar parallellitetsvinkeln med funktionen Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} . Denna funktion, som beskrevs av Nikolai Ivanovich Lobachevsky, ger en unik parallellitetsvinkel för varje avstånd p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } . När avståndet blir kortare närmar sig Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} 90°, medan Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} närmar sig 0° när avståndet ökar. När avstånden blir mindre beter sig alltså det hyperboliska planet mer och mer som euklidisk geometri. På små skalor jämfört med 1 - K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} där K {\displaystyle K\!} är planets (konstanta) gaussiska krökning, skulle en observatör ha svårt att avgöra om han befinner sig i det euklidiska eller hyperboliska planet.

I århundraden försökte geometrikerna bevisa parallellpostulatet. De misslyckades, men deras ansträngningar gav upphov till den hyperboliska geometrin. Alhacen Khayyams satser om fyrhörningar var de första satserna om hyperbolisk geometri. Deras arbeten om hyperbolisk geometri hade ett inflytande på dess utveckling bland senare europeiska geometriker, däribland Witelo, Alfonso och John Wallis.

På 1800-talet utforskades den hyperboliska geometrin av János Bolyai och Nikolai Ivanovich Lobachevsky, efter vilka den ibland är uppkallad. Lobachevsky publicerade 1830, medan Bolyai självständigt upptäckte den och publicerade 1832. Karl Friedrich Gauss studerade också hyperbolisk geometri och beskrev i ett brev till Taurinus 1824 att han hade konstruerat den, men publicerade inte sitt arbete. År 1868 tillhandahöll Eugenio Beltrami modeller av den, och använde detta för att bevisa att hyperbolisk geometri var konsekvent om euklidisk geometri var det.

Termen "hyperbolisk geometri" introducerades av Felix Klein 1871. För mer historia, se artikeln om icke-euklidisk geometri.

Det finns tre modeller som vanligen används för hyperbolisk geometri: Klein-modellen, Poincaré-skivmodellen och Lorentz-modellen eller hyperboloidmodellen. Dessa modeller definierar ett verkligt hyperboliskt rum som uppfyller axiomen för hyperbolisk geometri. Trots namngivningen introducerades de två skivmodellerna och halvplansmodellen som modeller för hyperboliska rum av Beltrami, inte av Poincaré eller Klein.

1. Klein-modellen, även känd som den projektiva skivmodellen och Beltrami-Klein-modellen, använder en cirkels inre som hyperboliskt plan och cirkelns ackord som linjer.
2. I Poincarés modell med ett halvt plan antas halva det euklidiska planet, som bestäms av den euklidiska linjen B, vara det hyperboliska planet (B självt är inte inkluderat).
• Hyperboliska linjer är då antingen halvcirklar som är vinkelräta mot B eller strålar som är vinkelräta mot B.
• Båda Poincaré-modellerna bevarar hyperboliska vinklar och är därmed konforma. Alla isometrier inom dessa modeller är därför Möbius-transformationer.
• Halvplansmodellen är identisk (vid gränsen) med Poincarés skivmodell vid skivans kant.
• Denna modell har en direkt tillämpning på den speciella relativitetsteorin, eftersom Minkowskis 3-rymd är en modell för rymdtid där en rumslig dimension inte ingår. Man kan betrakta hyperboloiden som en representation av de händelser som olika rörliga observatörer, som strålar utåt i ett rumsligt plan från en enda punkt, kommer att nå inom en fast egentid. Det hyperboliska avståndet mellan två punkter på hyperboloiden kan då identifieras med den relativa hastigheten mellan de två motsvarande observatörerna.

M. C. Eschers berömda tryckbilder Circle Limit III Archived 2009-03-18 at the Wayback Machine och Circle Limit IV Archived 2009-03-18 at the Wayback Machine illustrerar den konforma skivmodellen ganska väl. I båda kan man se geodetikerna. (I III är de vita linjerna inte geodetiker, utan hypercykler som löper längs med dem). Man kan också ganska tydligt se den negativa krökningen av det hyperboliska planet, genom dess effekt på summan av vinklar i trianglar och kvadrater.

I det euklidiska planet skulle deras vinklar summera till 450°, dvs. en cirkel och en fjärdedel. Av detta framgår att summan av vinklarna i en triangel i det hyperboliska planet måste vara mindre än 180°. En annan synlig egenskap är exponentiell tillväxt. I Circle Limit IV kan man till exempel se att antalet änglar och demoner Archived 2009-03-18 at the Wayback Machine inom ett avstånd av n från centrum ökar exponentiellt. Demonerna har lika stor hyperbolisk area, så arean av en kula med radie n måste öka exponentiellt med n.

Det finns flera sätt att fysiskt realisera ett hyperboliskt plan (eller en approximation av det). En särskilt välkänd pappersmodell baserad på pseudosfären är William Thurston. Häcklingskonsten har använts för att demonstrera hyperboliska plan och det första gjordes av Daina Taimina. År 2000 demonstrerade Keith Henderson en pappersmodell som gick snabbt att göra och som kallades "hyperbolisk fotboll".

• Coxeter, H. S. M. (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto.
• Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, översättare och redaktör: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
• Milnor, John W. (1982) Hyperbolisk geometri: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9-24.
• Reynolds, William F. (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid, American Mathematical Monthly 100:442-455.
• Stillwell, John. (1996) Sources in Hyperbolic Geometry, volym 10 i AMS/LMS-serien History of Mathematics.
• Samuels, David. (Mars 2006) Knit Theory Discover Magazine, volym 27, nummer 3.
• James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9.