Euklidisk geometri | ett system inom matematiken
Euklidisk geometri är ett system inom matematiken. Man tror att Euklid var den första som beskrev den och därför bär den hans namn. Han beskrev det först i sin lärobok Elements. Boken var den första systematiska diskussionen om geometri som den var känd på den tiden. I boken utgår Euklid först från några axiom. Dessa utgör grunden för senare arbete. De är intuitivt tydliga. Med utgångspunkt i dessa axiom kan andra satser bevisas.
På 1800-talet upptäcktes andra former av geometri. Dessa är icke-euklidisk geometri. Carl Friedrich Gauss, János Bolyai och Nikolai Ivanovich Lobachevsky var några personer som utvecklade sådana geometrier. Mycket ofta använder dessa inte parallellpostulatet, utan de andra fyra axiomen.
Axiomen
Euklid gör följande antaganden. Dessa är axiom och behöver inte bevisas.
- Två punkter kan förenas med en rät linje.
- Varje raksträcka kan förlängas (förlängas) till oändligheten, så att den blir en raksträcka.
- Med ett rätlinjesträck kan man rita en cirkel så att segmentets ena ändpunkt är cirkelns centrum och den andra ändpunkten ligger på cirkeln. Linjesträckan blir cirkelns radie.
- Alla räta vinklar är kongruenta
- Parallell postulat. Om två linjer skär en tredje på ett sådant sätt att summan av de inre vinklarna på den ena sidan är mindre än två räta vinklar, måste de två linjerna oundvikligen skära varandra på den sidan om de förlängs tillräckligt långt.
Status
Euklidisk geometri är en teori av första ordningen. Med hjälp av den kan påståenden som För alla trianglar... göras och bevisas. Påståenden som För alla uppsättningar av trianglar ... ligger utanför teorins räckvidd.
Frågor och svar
F: Vad är euklidisk geometri?
S: Euklidisk geometri är ett system inom matematiken som först beskrevs av Euklid i hans lärobok Elements. Det består av några axiom som utgör grunden för senare arbete, och andra teorem kan bevisas utifrån dessa axiom.
F: Vem skrev Elements?
S: Euklid skrev Elements, som var den första systematiska diskussionen om geometri som den var känd vid den tiden.
F: Vilka är några exempel på icke-euklidiska geometrier?
S: Icke-euklidiska geometrier utvecklades av Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai och Nikolai Ivanovich Lobachevsky på 1800-talet. Dessa använder ofta inte parallellpostulatet utan förlitar sig snarare på de andra fyra axiomen.
F: Vad diskuterar Elements?
S: Elements diskuterar geometrin så som den var känd vid den tiden och ger en systematisk diskussion av den.
F: Hur många axiom har den euklidiska geometrin?
S: Den euklidiska geometrin har ett fåtal axiom som utgör grunden för senare arbete.
Fråga: Vem utvecklade icke-euklidiska geometrier?
Svar: Icke-euklidiska geometrier utvecklades av Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai och Nikolai Ivanovich Lobachevsky på 1800-talet.
F: Använder icke-euklidisk geometri alla fem axiom eller bara fyra?
S: Icke-euklidisk geometri använder ofta inte parallellpostulatet utan förlitar sig på endast fyra av sina fem axiom.
