Euklidisk geometri – definition, axiom och historisk översikt
Upptäck euklidisk geometri: definition, grundläggande axiom och historisk översikt från Euklid till 1800‑talets icke‑euklidiska genombrott.
Euklidisk geometri är ett system inom matematiken som beskriver de grundläggande egenskaperna hos punkter, linjer, vinklar, ytor och kroppar i ett "platt" rum. Man tror att Euklid var den första som systematiskt beskrev denna geometri, och därför bär den hans namn. Han sammanställde sina resonemang i läroboken Elements, som blev den första systematiska och logiskt uppbyggda framställningen av den geometri som var känd på hans tid. I boken utgår Euklid från några grundläggande axiom och postulat; dessa utgör grunden för senare arbete och är avsedda att vara intuitivt tydliga. Med utgångspunkt i dessa axiom kan andra viktiga satser bevisas, till exempel Pythagoras sats, satsen om triangelns vinkelsumma och många resultat om kongruens och likformighet.
Euklids axiom och postulat
Euklid började med ett antal "allmänna principer" (vanligen kallade common notions) och fem postulat. De fem postulat som traditionellt tillskrivs Euklid kan formuleras kortfattat så här:
- Man kan dra en rät linje mellan två godtyckliga punkter.
- En begränsad rät linje kan förlängas i en rät linje.
- Med en godtycklig punkt som centrum och ett godtyckligt avstånd som radie kan man rita en cirkel.
- Alla räta vinklar är lika stora.
- (Parallellpostulatet) Om en rät linje skär två räta linjer så att summan av de inre vinklarna på ena sidan blir mindre än två räta vinklar, så kommer de två räta linjerna så småningom att skära varandra på den sidan när de förlängs tillräckligt långt.
Det finns också några "allmänna begrepp" som t.ex. "om två storheter är lika med en tredje, är de lika med varandra" — dessa fungerade som logiska regler i Euklids framställning.
Moderna axiomatiseringar
Under 1800- och 1900-talen förfinades och formaliserades Euklids axiom av matematiker som David Hilbert. Hilberts axiomatiska system klargjorde antaganden som implicit fanns i Elements och ordnade dem i en strikt logisk struktur (incidens, ordning, kongruens, parallellism och kontinuitet). Ett vanligt modernt sätt att se euklidisk geometri är som en rumlig struktur R^n utrustad med ett skalärprodukt (dotprodukt) som bestämmer avstånd och vinklar; detta perspektiv kopplar ihop geometri med analytisk geometri och linjär algebra.
Icke-euklidisk geometri
På 1800-talet upptäcktes andra former av geometri. Dessa är icke-euklidisk geometri. Carl Friedrich Gauss, János Bolyai och Nikolai Ivanovich Lobachevsky var några personer som utvecklade sådana geometrier. Mycket ofta använder dessa inte parallellpostulatet, utan de andra fyra axiomen. Riemann utvecklade en annan variant (elliptisk eller sfärisk geometri) där inga paraller existerar. Under 1800-talet och tidigt 1900-tal byggdes modeller (till exempel av Beltrami, Klein och Poincaré) som visade att icke‑euklidiska geometrier är konsistenta om den euklidiska geometrin är det — vilket i sin tur visade att parallellpostulatet inte kan härledas från de övriga euklidiska axiomen.
Historia och påverkan
Geometriska idéer föregick Euklid: både forntida egyptiska och babyloniska hantverkare använde praktiska geometriska metoder. Euklids främsta bidrag var den systematiska uppställningen och de logiska bevisen i Elements, som blev standardtext i många århundraden. Senare gav René Descartes sambandet mellan algebra och geometri genom koordinatgeometrin, vilket gjorde det möjligt att behandla geometriska problem med analys och algebra.
Grundläggande begrepp och tillämpningar
- Planet och rummet: Euklidisk geometri beskriver både plan geometri (tvådimensionell) och rymdgeometri (tredimensionell) och kan generaliseras till högre dimensioner R^n.
- Avstånd och vinklar: Avståndet mellan två punkter och vinkeln mellan två linjer definieras med skalärprodukten i den analytiska framställningen.
- Isometrier: Rigid rörelse som translationer, rotationer och speglingar bevarar avstånd och vinklar — centrala begrepp i euklidisk geometri.
- Tillämpningar: Euklidisk geometri används praktiskt inom byggnadskonst, ingenjörsvetenskap, kartografi (i lokala skalor), datagrafik och grundläggande fysik. Den utgör också basen för många konstruktioner i matematikundervisningen.
Sammanfattningsvis är euklidisk geometri ett historiskt och fortfarande centralt område i matematiken: det gav en tidig modell för axiomatiskt tänkande, ledde till viktiga bevis och satser, och kontrasten mot icke‑euklidiska system stimulerade utvecklingen av modern geometri och vårt sätt att se på rum och kausalitet i naturvetenskapen.
Axiomen
Euklid gör följande antaganden. Dessa är axiom och behöver inte bevisas.
- Två punkter kan förenas med en rät linje.
- Varje raksträcka kan förlängas (förlängas) till oändligheten, så att den blir en raksträcka.
- Med ett rätlinjesträck kan man rita en cirkel så att segmentets ena ändpunkt är cirkelns centrum och den andra ändpunkten ligger på cirkeln. Linjesträckan blir cirkelns radie.
- Alla räta vinklar är kongruenta
- Parallell postulat. Om två linjer skär en tredje på ett sådant sätt att summan av de inre vinklarna på den ena sidan är mindre än två räta vinklar, måste de två linjerna oundvikligen skära varandra på den sidan om de förlängs tillräckligt långt.
Status
Euklidisk geometri är en teori av första ordningen. Med hjälp av den kan påståenden som För alla trianglar... göras och bevisas. Påståenden som För alla uppsättningar av trianglar ... ligger utanför teorins räckvidd.
Frågor och svar
F: Vad är euklidisk geometri?
S: Euklidisk geometri är ett system inom matematiken som först beskrevs av Euklid i hans lärobok Elements. Det består av några axiom som utgör grunden för senare arbete, och andra teorem kan bevisas utifrån dessa axiom.
F: Vem skrev Elements?
S: Euklid skrev Elements, som var den första systematiska diskussionen om geometri som den var känd vid den tiden.
F: Vilka är några exempel på icke-euklidiska geometrier?
S: Icke-euklidiska geometrier utvecklades av Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai och Nikolai Ivanovich Lobachevsky på 1800-talet. Dessa använder ofta inte parallellpostulatet utan förlitar sig snarare på de andra fyra axiomen.
F: Vad diskuterar Elements?
S: Elements diskuterar geometrin så som den var känd vid den tiden och ger en systematisk diskussion av den.
F: Hur många axiom har den euklidiska geometrin?
S: Den euklidiska geometrin har ett fåtal axiom som utgör grunden för senare arbete.
Fråga: Vem utvecklade icke-euklidiska geometrier?
Svar: Icke-euklidiska geometrier utvecklades av Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai och Nikolai Ivanovich Lobachevsky på 1800-talet.
F: Använder icke-euklidisk geometri alla fem axiom eller bara fyra?
S: Icke-euklidisk geometri använder ofta inte parallellpostulatet utan förlitar sig på endast fyra av sina fem axiom.
Sök