Sammansatt funktion | ett sätt att skapa en ny funktion av två andra funktioner

Inom matematiken är funktionskomposition ett sätt att skapa en ny funktion av två andra funktioner genom en kedjeliknande process.

Närmare bestämt, givet en funktion f från X till Y och en funktion g från Y till Z, är funktionen "g sammansatt med f", skriven som g ∘ f, en funktion från X till Z (lägg märke till att det vanligtvis skrivs på motsatt sätt än vad folk förväntar sig att det ska vara).

Värdet av f givet indata x skrivs som f(x). Värdet av g ∘ f givet indata x skrivs som (g ∘ f)(x) och definieras som g(f(x)).

Låt f vara en funktion som fördubblar ett tal (multiplicerar det med 2) och låt g vara en funktion som subtraherar 1 från ett tal. Dessa två funktioner kan skrivas som:

f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x} $f(x)=2x$

g ( x ) = x - 1 {\displaystyle g(x)=x-1} $g(x)=x-1$

Här skulle g i kombination med f vara den funktion som fördubblar ett tal och sedan subtraherar 1 från det. Det vill säga:

( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1} $(g\circ f)(x)=2x-1$

Å andra sidan skulle f sammansatt med g vara den funktion som subtraherar 1 från ett tal och sedan fördubblar det:

( f ∘ g ) ( x ) = 2 ( x - 1 ) {\displaystyle (f\circ g)(x)=2(x-1)} $(f\circ g)(x)=2(x-1)$

Komposition av funktioner kan också generaliseras till binära relationer, där den ibland representeras med samma symbol ∘ {\displaystyle \circ } $\circ$ (som i R ∘ S {\displaystyle R\circ S} $R\circ S$ ).

Egenskaper

Det kan bevisas att funktionskompositionen är associativ, vilket innebär att:

f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h} $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$

Funktionskomposition är dock i allmänhet inte kommutativ, vilket innebär att:

f ∘ g ≠ g ∘ f {\displaystyle f\circ g\neq g\circ f} $f\circ g\neq g\circ f$

Detta syns också i det första exemplet, där (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 och (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.

Relaterade sidor

Kedjeregel

Frågor och svar

F: Vad är funktionssammansättning?

S: Funktionskomposition är ett sätt att göra en ny funktion av två andra funktioner genom en kedjeliknande process.

F: Hur komponeras värdet av g med f skrivet?

S: Värdet av g sammansatt med f skrivs som (g ∘ f)(x) och definieras som g(f(x)).

F: Vilka är några exempel på funktioner?

S: Ett exempel kan vara en funktion som fördubblar ett tal (multiplicerar det med 2) och en annan som subtraherar 1 från ett tal.

F: Vad skulle vara ett exempel på g sammansatt med f?

S: Ett exempel på g sammansatt med f skulle vara den funktion som fördubblar ett tal och sedan subtraherar 1 från det. Det är (g ∘ f)(x)=2x-1.

F: Vad skulle vara ett exempel på f sammansatt med g?

S: Ett exempel på f sammansatt med g skulle vara den funktion som subtraherar 1 från ett tal och sedan fördubblar det, dvs. (f ∘ g)(x)=2(x-1).

F: Kan komposition också generaliseras till binära relationer?

S: Ja, komposition kan också generaliseras till binära relationer, där den ibland representeras med samma symbol (som i R ∘ S).