Heavisidefunktion

Vi kan också definiera en alternativ form av Heavisides stegfunktion som en funktion av en diskret variabel n:

H [ n ] = { 0 , n < 0 1 , n ≥ 0 {\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0\\\1,&n\geq 0\end{cases}}}

där n är ett heltal.

Eller

H ( x ) = lim z → x - ( ( | z | / z + 1 ) / 2 ) {\displaystyle H(x)=\lim _{z\rightarrow x^{-}}((|z|/z+1)/2)}

Den diskreta tidsenhetsimpulsen är den första differensen av det diskreta tidssteget.

δ [ n ] = H [ n ] - H [ n - 1 ] . {\displaystyle \delta \left[n\right]=H[n]-H[n-1]. }

Denna funktion är den kumulativa summeringen av Kroneckerdeltat:

H [ n ] = ∑ k = - ∞ n δ [ k ] {\displaystyle H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]\,}

där

δ [ k ] = δ k , 0 {\displaystyle \delta [k]=\delta _{k,0}\,}

är den diskreta enhetsimpulsfunktionen.

Ofta är en integralrepresentation av Heavisides stegfunktion användbar:

H ( x ) = lim ϵ → 0 + - 1 2 π i ∫ - ∞ ∞ 1 τ + i ϵ e - i x τ d τ = lim ϵ → 0 + 1 2 π i ∫ - ∞ ∞ 1 τ - i ϵ e i x τ d τ . {\displaystyle H(x)=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}-{1 \over 2\pi \mathrm {i} }\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +\mathrm {i} \epsilon }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\tau }\mathrm {d} \tau =\lim _{\epsilon \to 0^{+}}{1 \over 2\pi \mathrm {i} }\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau -\mathrm {i} \epsilon }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\tau }\mathrm {d} \tau . }  

Funktionens värde vid 0 kan definieras som H(0) = 0, H(0) = ½ eller H(0) = 1.

H ( x ) = 1 + sgn ( x ) 2 = { 0 , x < 0 1 2 , x = 0 1 , x > 0. {\displaystyle H(x)={\frac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}}={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0.\end{cases}}}  

• Laplace-transformation