Antiderivata och obestämd integration – definition, metoder och exempel

Lär dig antiderivata och obestämd integration: definition, metoder och tydliga exempel för att bemästra antidifferentiering steg för steg.

Författare: Leandro Alegsa

Antidifferentiering (även kallad obestämd integration) är processen för att hitta en viss funktion i kalkyl. Det är motsatsen till differentiering. Det är ett sätt att bearbeta en funktion för att ge en annan funktion (eller klass av funktioner) som kallas antiderivativ. Antidifferentiering är som integration - men utan gränser. Det är därför den kallas obestämd integration. När de representeras som enskilda bokstäver har antiderivativ ofta formen av stora romerska bokstäver, till exempel F och {\displaystyle G} .

I allmänhet skrivs en antiderivativ i formen {\displaystyle \int f(x)\ dx}, där:




 

Definition och egenskaper

En funktion F(x) är en antiderivata till f(x) om och endast om F'(x) = f(x) för alla x i ett intervall där båda är definierade. Om F är en antiderivata till f, så är också F + C en antiderivata för varje konstant C. Detta beror på att derivatan av en konstant är noll.

Konstanten för integration

Vid obestämd integration anges alltid en godtycklig konstant C (kallas ibland integrationskonstanten). Den fullständiga mängden antiderivator till f(x) uttrycks därför som:

F(x) + C, där F'(x) = f(x).

Vanliga regler och formler

  • Linjäritet: ∫[a·f(x) + b·g(x)] dx = a·∫f(x) dx + b·∫g(x) dx.
  • Potensregeln: ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, för n ≠ −1.
  • Exponentialfunktion: ∫ e^x dx = e^x + C, och ∫ a^x dx = a^x/ln(a) + C för a>0, a≠1.
  • Logaritm: ∫ 1/x dx = ln|x| + C.
  • Trigonometriska funktioner: exempelvis ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C.

Metoder för att hitta antiderivator

  • Direkt igenkänning: Använd kända formler och linjäritet för att kombinera enkla termer.
  • Substitutionsmetoden (u-substitution): Används när integranden innehåller en sammansatt funktion. Sätt u = g(x) så att du förenklar integranden och dx ersätts med du/g'(x).
  • Partiell integration: Används för produkter av funktioner: ∫ u dv = u v − ∫ v du. Välj u så att dess derivata förenklar uttrycket.
  • Partialbråksuppdelning: För rationella funktioner (kvot av polynom) där nämnaren kan faktoriseras. Dela upp i enklare bråk som är lättare att integrera.
  • Trigonometriska substitutioner: Används för att hantera uttryck med √(a^2 − x^2), √(a^2 + x^2) eller √(x^2 − a^2).
  • Tabellmetod och datoralgebra: För mer komplicerade integraler kan tabeller eller CAS-program (t.ex. WolframAlpha eller sympy) vara till hjälp.

Vanliga antiderivator (urval)

  • ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ −1)
  • ∫ 1/x dx = ln|x| + C
  • ∫ e^x dx = e^x + C
  • ∫ a^x dx = a^x/ln(a) + C
  • ∫ sin x dx = −cos x + C
  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ sec^2 x dx = tan x + C
  • ∫ csc^2 x dx = −cot x + C
  • ∫ sec x tan x dx = sec x + C
  • ∫ csc x cot x dx = −csc x + C

Exempel — steg för steg

Exempel 1: ∫ (3x^2 − 4x + 1) dx

Lösning: Använd potensregeln term för term.

∫ 3x^2 dx = 3·(x^3/3) = x^3, ∫ −4x dx = −4·(x^2/2) = −2x^2, ∫ 1 dx = x. Slutsats:

∫ (3x^2 − 4x + 1) dx = x^3 − 2x^2 + x + C.

Exempel 2 (substitution): ∫ 2x·e^{x^2} dx

Lösning: Sätt u = x^2 så du = 2x dx. Då blir integralen ∫ e^u du = e^u + C = e^{x^2} + C.

Exempel 3 (partiell integration): ∫ x·e^x dx

Lösning: Välj u = x (så du = dx) och dv = e^x dx (så v = e^x). Då:

∫ x e^x dx = x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x + C = e^x(x − 1) + C.

Fundamentalteoremet för analys

Det finns ett nära samband mellan antiderivator och bestämda integraler: om F är en antiderivata till f på ett intervall, då gäller

∫_{a}^{b} f(x) dx = F(b) − F(a).

Detta är fundamentalteoremet i kalkyl och visar hur obestämda och bestämda integraler hänger ihop.

Tips och vanliga misstag

  • Glöm inte att lägga till konstanten C vid obestämd integration.
  • Vid substitution: ersätt ALLA x och dx i integranden innan du integrerar.
  • Kontrollera genom att derivera din antiderivata; derivatan ska återge ursprungsfunktionen.
  • Vid partialbråksuppdelning: kontrollera gradtalet i täljare och nämnare först — om täljaren har högre grad än nämnaren måste polynomdivision göras först.

Sammanfattningsvis är antidifferentiering processen att hitta funktioner vars derivata är en given funktion. Genom att lära sig grundläggande formler, känna igen mönster och använda metoder som substitution och partiell integration kan man lösa de flesta obestämda integraler som förekommer i grundläggande kalkyl.

Enkel antidifferentiering

En funktion av formen {\displaystyle ax^{n}} kan integreras (antidifferentieras) på följande sätt:

  • Lägg till 1 till potensen n, så {\displaystyle ax^{n}} är nu {\displaystyle ax^{n+1}}.
  • Dela allt detta med den nya kraften, så det är nu {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}} .
  • Lägg till konstanten {\displaystyle c} , så det blir nu {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} .

Detta kan visas på följande sätt:

{\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} (även känd som potensregeln för integral)

När det finns många termer kan vi integrera hela funktionen genom att integrera dess komponenter en efter en:

{\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Detta fungerar endast om delarna läggs till eller tas bort.)

Exempel

{\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

{\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

{\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Det är lättare att omvandla bråk och rötter till potenser:

{\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

{\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}
 

Integrering av en parentes ("kedjeregel")

För att integrera en parentes som {\displaystyle (2x+4)^{3}}behövs en annan metod. Den kallas för kedjeregeln. Det är som enkel integration, men den fungerar bara om x i parentesen är linjär (har en potens av 1), som x eller {\displaystyle 5x} -men inte {\displaystyle x^{5}} eller {\displaystyle x^{-7}}.

Till exempel kan {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} bestämmas i följande steg:

  • Lägg till 1 till potensen {\displaystyle 3} , så att det nu blir {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • Divider allt detta med den nya potensen för att få {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • Dela allt detta med derivatan av parentesen {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}för att få {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\cdot 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Lägg till konstanten {\displaystyle c} för att få {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Exempel

∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\ gånger 1}}}+c={\frac {1}{6}}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)} {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}


 

Relaterade sidor

 

Frågor och svar

F: Vad är antidifferentiering?


S: Antidifferentiering (även kallad obestämd integration) är processen för att hitta en viss funktion i kalkyl. Det är motsatsen till differentiering och innebär att man bearbetar en funktion för att ge en annan funktion (eller klass av funktioner) som kallas antiderivativ.

F: Hur representeras den?


S: När de representeras som enskilda bokstäver har antiderivativ ofta formen av stora romerska bokstäver som F och G. I allmänhet skrivs en antiderivativ i formen ∫f(x) dx.

F: Vad innebär antidifferentiering?


S: Antidifferentiering innebär att man bearbetar en funktion för att få fram en annan funktion (eller klass av funktioner) som kallas antiderivativ.

F: Hur skiljer sig detta från integration?


S: Antidifferentiering skiljer sig från integration genom att den inte inbegriper gränser - det är därför den kallas obestämd integration.

F: Vilka är några exempel på hur antidifferentiering kan uttryckas?


S: Exempel på hur antidifferentiering kan uttryckas är F och G när de representeras som enskilda bokstäver, eller ∫f(x) dx när de skrivs i allmän form.


Sök
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3