Primitiv funktion | processen att hitta en viss funktion i kalkyl

Enkel antidifferentiering

En funktion av formen a x n {\displaystyle ax^{n}}} kan integreras (antidifferentieras) på följande sätt:

• Lägg till 1 till potensen n {\displaystyle n} , så en x n {\displaystyle ax^{n}} är nu en x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}} .
• Dela allt detta med den nya kraften, så det är nu a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}}} .
• Lägg till konstanten c {\displaystyle c} , så det blir nu a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}+c} .

Detta kan visas på följande sätt:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\\ dx={\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}+c} (även känd som potensregeln för integral)

När det finns många termer kan vi integrera hela funktionen genom att integrera dess komponenter en efter en:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 7 - 5 x 5 5 5 + c = 2 7 x 7 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}}{7}}-{\frac {5x^{5}}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Detta fungerar endast om delarna läggs till eller tas bort.)

Exempel

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 2 + x 3 3 3 + x 4 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\\ dx={\frac {x^{2}}}{2}}}+{\frac {x^{3}}}{3}}}+{\frac {x^{4}}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Det är lättare att omvandla bråk och rötter till potenser:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 5 2 + c = 2 5 x 5 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\\frac {3}{2}}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}}{\frac {5}{2}}}}+c={\frac {2}{5}}}x^{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}}{\sqrt {x^{5}}}+c}
 

Integrering av en parentes ("kedjeregel")

För att integrera en parentes som ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} behövs en annan metod. Den kallas för kedjeregeln. Det är som enkel integration, men den fungerar bara om x {\displaystyle x} i parentesen är linjär (har en potens av 1), som x {\displaystyle x} eller 5 x {\displaystyle 5x} -men inte x 5 {\displaystyle x^{{5}}} eller x - 7 {\displaystyle x^{-7}} .

Till exempel kan ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} bestämmas i följande steg:

• Lägg till 1 till potensen 3 {\displaystyle 3} , så att det nu blir ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}}}
• Divider allt detta med den nya potensen för att få ( 2 x + 4 ) 4 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}}
• Dela allt detta med derivatan av parentesen ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)} för att få ( 2 x + 4 ) 4 4 4 ⋅ 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\cdot 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}}
• Lägg till konstanten c {\displaystyle c} för att få 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}}(2x+4)^{4}+c}

Exempel

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\ gånger 1}}}+c={\frac {1}{6}}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

Relaterade sidor

• Grundläggande teorem i kalkyl
• Integral
• Numerisk integration
• Partiell fraktionsnedbrytning