Derivatan – definition, ändringshastighet och beräkning i differentialkalkyl

Derivatan av y med avseende på x definieras som förändringen av y i förhållande till förändringen av x, när avståndet mellan x 0 {\displaystyle x_{0}} och x 1 {\displaystyle x_{1}} blir oändligt litet (infinitesimalt). I matematiska termer,

f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}

Det vill säga, när avståndet mellan de två x-punkterna (h) närmar sig noll, kommer lutningen på linjen mellan dem att likna en tangentlinje.

Linjära funktioner

Derivat av linjära funktioner (funktioner av formen m x + c {\displaystyle mx+c} utan kvadratiska eller högre termer) är konstanta. Det vill säga att derivatan på en plats på grafen kommer att vara densamma på en annan plats på grafen.

När den beroende variabeln y {\displaystyle y} direkt tar x {\displaystyle x} 's värde ( y = x {\displaystyle y=x} ) är linjens lutning 1 på alla ställen, så d d d x ( x ) = 1 {\displaystyle {\tfrac {d}{d}{dx}}(x)=1} oavsett var positionen är.

När y {\displaystyle y} ändrar x {\displaystyle x} 's tal genom att lägga till eller dra ifrån ett konstant värde är lutningen fortfarande 1, eftersom förändringen av x {\displaystyle x} och y {\displaystyle y} inte ändras om grafen förskjuts uppåt eller nedåt. Det vill säga, lutningen är fortfarande 1 över hela grafen och dess derivata är också 1.

Effektfunktioner

Potensfunktioner (i form av x a {\displaystyle x^{a}} ) beter sig annorlunda än linjära funktioner, eftersom deras exponent och lutning varierar.

Potensfunktioner följer i allmänhet regeln att d d d x x x a = a x a - 1 {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {d}{dx}}}x^{a}=ax^{a-1}}} . Det vill säga, om vi ger a talet 6, så är d d x x x 6 = 6 x 5 {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {d}{dx}}}x^{6}=6x^{5}}}

Ett annat exempel, som är mindre uppenbart, är funktionen f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}} . Detta är i princip samma sak, eftersom 1/x kan förenklas genom att använda exponenter:

f ( x ) = 1 x = x - 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}=x^{-1}}}

f ′ ( x ) = - 1 ( x - 2 ) {\displaystyle f'(x)=-1(x^{{-2})}

f ′ ( x ) = - 1 x 2 {\displaystyle f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}}

Dessutom kan rötter ändras så att de använder bråkformiga exponenter, varvid deras derivat kan hittas:

f ( x ) = x 2 3 = x 2 3 {\displaystyle f(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}}=x^{\frac {2}{3}}}}

f ′ ( x ) = 2 3 ( x - 1 3 ) {\displaystyle f'(x)={\frac {2}{3}}(x^{-{\frac {1}{3}}}})}

Exponentialfunktioner

En exponentialfunktion har formen a b f ( x ) {\displaystyle ab^{f\left(x\right)}} , där a {\displaystyle a} och b {\displaystyle b} är konstanter och f ( x ) {\displaystyle f(x)} är en funktion av x {\displaystyle x} . Skillnaden mellan en exponential och ett polynom är att i ett polynom höjs x {\displaystyle x} till någon potens, medan x {\displaystyle x} i en exponential är en potens.

Exempel 1

d d x ( a b f ( x ) ) = a b f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) ⋅ ln ( b ) {\displaystyle {\frac {\frac {d}{dx}}\left(ab^{f\left(x\right)}\right)=ab^{f(x)}\cdot f'\left(x\right)\cdot \ln(b)}

Exempel 2

Hitta d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3{x^{{2}}}}\right)} .

a = 3 {\displaystyle a=3}

b = 2 {\displaystyle b=2}

f ( x ) = 3 x 2 {\displaystyle f\left(x\right)=3x^{2}}

f ′ ( x ) = 6 x {\displaystyle f'\left(x\right)=6x}

Därför,

d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) = 3 ⋅ 2 3 x 2 ⋅ 6 x ⋅ ln ( 2 ) = ln ( 2 ) ⋅ 18 x ⋅ 2 3 x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3x^{2}}\right)=3\cdot 2^{3x^{2}}}\cdot 6x\cdot \ln \left(2\right)=\ln \left(2\right)\cdot 18x\cdot 2^{3x^{2}}}

Logaritmiska funktioner

Logaritmens derivat är reciproken:

d d x ln ( x ) = 1 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}}} .

Ta till exempel d d x ln ( 5 x ) {\displaystyle {\frac {\frac {d}{dx}}}\ln \left({\frac {5}{x}}}\right)} . Detta kan reduceras till (genom logaritmens egenskaper):

d d x ( ln ( 5 ) ) - d d x ( ln ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}(\ln(5))-{\frac {d}{dx}}}(\ln(x))}

Logaritmen av 5 är en konstant, så dess derivat är 0. Derivatet av ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} är 1 x {\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} . Så,

0 - d d d x ln ( x ) = - 1 x {\displaystyle 0-{\frac {d}{dx}}\ln(x)=-{\frac {1}{x}}}}

För derivat av logaritmer som inte är i basen e, t.ex. d d d x ( log 10 ( x ) ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}(\log _{10}(x))} kan detta reduceras till:

d d x log 10 ( x ) = d d x ln x ln 10 = 1 ln 10 d d d x ln x = 1 x ln ( 10 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}\log _{10}(x)={\frac {d}{dx}}}{\frac {\ln {x}}{\ln {10}}}={\frac {1}{\ln {10}}}}{\frac {d}{dx}}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(10)}}}

Trigonometriska funktioner

Cosinusfunktionen är derivatan av sinusfunktionen, medan cosinus' derivatan är negativ sinus (förutsatt att x mäts i radianer):

d d x sin ( x ) = cos ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}

d d x cos ( x ) = - sin ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}

d d x sec ( x ) = sec ( x ) tan ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)} .
 

Derivat kan delas upp i mindre delar där de är hanterbara (eftersom de endast har en av de ovan nämnda funktionsegenskaperna). Till exempel kan d d x ( 3 x 6 + x 2 - 6 ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(3x^{6}+x^{2}-6)} delas upp som:

d d x ( 3 x 6 ) + d d x ( x 2 ) - d d x ( 6 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}(3x^{6})+{\frac {d}{dx}}(x^{2})-{\frac {d}{dx}}(6)}

= 6 ⋅ 3 x 5 + 2 x - 0 {\displaystyle =6\cdot 3x^{5}+2x-0}

= 18 x 5 + 2 x {\displaystyle =18x^{5}+2x\,}
 

En funktions derivata kan användas för att söka efter funktionens maxima och minima genom att leta efter platser där dess lutning är noll.

Derivat används i Newtons metod, som hjälper en att hitta en funktions nollor (rötter).Man kan också använda derivat för att bestämma en funktions konkavitet och om funktionen är ökande eller minskande.

• Skillnadskvot
• Grundläggande teorem i kalkyl
• Implicit derivat
• Integral
• Partiell derivat
• Andra derivat