Identitet (matematik)

Exempel

Identitetsförhållande

Ett vanligt exempel på den första betydelsen är den trigonometriska identiteten

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}

vilket är sant för alla verkliga värden av θ {\displaystyle \theta } (eftersom de reella talen R {\displaystyle {\mathbb {R}}} är domänen för sin och cos), till skillnad från

cos θ = 1 , {\displaystyle \cos \theta =1,\,}

vilket är sant endast för värden av θ {\displaystyle \theta } i en delmängd av domänen.

Identitetselement

Begreppen "additiv identitet" och "multiplikativ identitet" är centrala för Peanos axiom. Talet 0 är den "additiva identiteten" för heltal, reella tal och komplexa tal. För de reella talen gäller att för alla a ∈ R , {\displaystyle a\in {\mathbb {R}},}

0 + a = a , {\displaystyle 0+a=a,\,}

a + 0 = a , {\displaystyle a+0=a,\,} och

0 + 0 = 0. {\displaystyle 0+0=0.\,}

På samma sätt är talet 1 den "multiplikativa identiteten" för heltal, reella tal och komplexa tal. För de reella talen, för alla a ∈ R , {\displaystyle a\in {\mathbb {R}},}

1 × a = a , {\displaystyle 1\times a=a,\,}

a × 1 = a , {\displaystyle a\times 1=a,\,} och

1 × 1 = 1. {\displaystyle 1\times 1=1.\,}

Identitetsfunktion

Ett vanligt exempel på en identitetsfunktion är identitetspermutationen, som skickar varje element i mängden { 1 , 2 , ... , n } {\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}} till sig själv.

Jämförelse

Dessa betydelser utesluter inte varandra; till exempel är identitets-permutationen identitetselementet i mängden permutationer av { 1 , 2 , ... , n }. {\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}} under komposition.