De stora talens lag

Författare: Leandro Alegsa

07-12-2021

Lagen om stora tal (LLN) är en sats från statistiken. Tänk på en process där slumpmässiga utfall inträffar. En slumpvariabel observeras till exempel upprepade gånger. Då kommer genomsnittet av de observerade värdena att vara stabilt på lång sikt. Detta innebär att på lång sikt kommer genomsnittet av de observerade värdena att komma allt närmare det förväntade värdet.

När du slår tärningar är siffrorna 1, 2, 3, 4, 5 och 6 möjliga utfall. De är alla lika sannolika. Populationens medelvärde (eller "förväntat värde") för utfallen är:

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.

Följande diagram visar resultaten av ett experiment med tärningskast. I detta experiment kan man se att genomsnittet av tärningskast varierar kraftigt till en början. Som förutsagt av LLN stabiliseras genomsnittet runt det förväntade värdet 3,5 när antalet observationer blir stort.

A demonstration of the Law of Large Numbers using die rolls

Historia

Jacob Bernoulli beskrev först LLN. Han säger att det var så enkelt att även den dummaste människa instinktivt vet att det är sant. Trots detta tog det honom över 20 år att utveckla ett bra matematiskt bevis. När han väl hade hittat det publicerade han beviset i Ars Conjectandi (The Art of Conjecturing) år 1713. Han kallade detta för sin "gyllene sats". Den blev allmänt känd som "Bernoullis sats" (inte att förväxla med den fysikaliska lagen med samma namn). 1835 beskrev S.D.Poisson den ytterligare under namnet "La loi des grands nombres" (Lagen om stora tal). Därefter var den känd under båda namnen, men "Law of large numbers" används oftast.

Andra matematiker bidrog också till att förbättra lagen. Några av dem var Tebysjev, Markov, Borel, Cantelli och Kolmogorov. Efter dessa studier finns det nu två olika former av lagen: Den ena kallas den "svaga" lagen och den andra den "starka" lagen. Dessa former beskriver inte olika lagar. De har olika sätt att beskriva konvergensen mellan den observerade eller uppmätta sannolikheten och den faktiska sannolikheten. Den starka formen av lagen förutsätter den svaga.

Frågor och svar

F: Vad är lagen om stora tal?

S: Lagen om stora tal är ett statistiskt teorem som säger att om en slumpmässig process observeras upprepade gånger, så kommer genomsnittet av de observerade värdena att vara stabilt på lång sikt.

F: Vad betyder lagen om stora tal?

S: De stora talens lag innebär att när antalet observationer ökar kommer genomsnittet av de observerade värdena att komma närmare och närmare det förväntade värdet.

F: Vad är ett förväntat värde?

S: Ett förväntat värde är populationsmedelvärdet för utfallen av en slumpmässig process.

F: Vad är det förväntade värdet av att kasta en tärning?

S: Det förväntade värdet av att kasta en tärning är summan av möjliga utfall dividerat med antalet utfall: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.

F: Vad visar grafen i texten i förhållande till lagen om stora tal?

S: Grafen visar att medelvärdet för tärningskast varierar kraftigt till en början, men som LLN förutsäger stabiliseras medelvärdet runt det förväntade värdet 3,5 när antalet observationer blir stort.

F: Hur tillämpas lagen om stora tal på tärningskast?

S: Lagen om stora tal gäller för tärningskast, eftersom när antalet kast ökar kommer genomsnittet av kasten att komma närmare och närmare det förväntade värdet på 3,5.

F: Varför är lagen om stora tal viktig inom statistik?

S: Lagen om stora tal är viktig inom statistik eftersom den ger en teoretisk grund för idén att data tenderar att bli ett genomsnitt över ett stort antal observationer. Det är grunden för många statistiska metoder, såsom konfidensintervall och hypotesprövning.