Andrej Kolmogorov — sovjetisk matematiker och pionjär i sannolikhetsteori

Andrej Kolmogorov (1903–1987) — sovjetisk matematiker och pionjär i sannolikhetsteori; banbrytande inom topologi, turbulens och algoritmisk komplexitet.

Andrej Nikolajevitj Kolmogorov (ryska: Андре́й Никола́евич Колмого́ров) (25 april 1903–20 oktober 1987) var en sovjetisk matematiker och datavetare som räknas till 1900-talets mest inflytelserika teoretiker. Han gjorde banbrytande arbeten inom sannolikhetsteori och topologi, och hans idéer har fått stor betydelse både inom ren matematik och i tillämpningar inom fysik, statistik och datavetenskap. Han föddes i Tambov i en rysk familj. Tidigt i karriären arbetade han med intuitionistisk logik och Fourierserier och senare även med turbulens, klassisk mekanik och informationsteori. Han var också en av grundarna av det som idag kallas Kolmogorovs komplexitetsteori, en central del av algoritmisk komplexitet.

Kolmogorov tjänstgjorde vid Moskvas statliga universitet där han blev en ledande figur i den så kallade Luzin-skolan. Han studerade under Nikolai Luzin och disputerade 1929. År 1931 blev han professor vid samma universitet och 1939 utnämndes han till akademiker i Sovjetunionens vetenskapsakademi. Han avled i Moskva 1987.

Viktiga bidrag och resultat

• Axiomatiseringen av sannolikhetsteorin (1933): I boken ofta angiven på engelska som Foundations of the Theory of Probability formulerade Kolmogorov sannolikhet som ett mått på en σ-algebra och gav därmed en strikt, måtteoretisk grund för modern sannolikhetsteori. Detta gjorde det möjligt att koppla sannolikhetsteorin nära till mått- och integrationsteori.
• Kolmogorovs konsistenssats (extension theorem): Visar under vilka villkor en famil av ändligdimensionella fördelningar bestämmer en stokastisk process. Detta är viktigt för konstruktion av processer som Brownsk rörelse.
• Grundläggande satser i sannolikhet: Bland hans resultat finns bland annat treseriens sats för summor av oberoende slumpvariabler, Kolmogorovs noll-ettal (zero–one law) för svanshändelser och viktiga versioner av stora talets lagar och centrala gränsvärdessatsen.
• Markovprocesser och Kolmogorovs fram- och bakåt-ekvationer: Han utvecklade formella ekvationer som beskriver övergångsfunktioner för kontinuerliga Markovprocesser (ofta kallade Kolmogorovs fram- och bakåt-ekvationer).
• Turbulensteori (K41): I arbeten från 1941 gav Kolmogorov teoretiska skalningslagar för isotrop, homogent turbulent flöde. Den välkända energispektralskalan E(k) ~ C ε^{2/3} k^{−5/3} härstammar från denna teori och har stor betydelse inom fluidmekanik.
• Dynamiska system och entropi: Kolmogorov introducerade begreppet metrisk entropi för dynamiska system (senare utvecklat tillsammans med Sinai till Kolmogorov–Sinai-entropin), vilket kopplar sannolikhet och komplexitet till kaotiskt beteende i dynamiska system.
• Kolmogorov–Arnold–Moser (KAM): Kolmogorov initierade viktiga idéer inom stabilitet för Hamiltonska system; senare utvecklades dessa tillsammans med V. I. Arnold och J. Moser till vad som kallas KAM-teorin.
• Algorithmisk komplexitet: Kolmogorov formulerade idéer om hur man mäter komplexiteten hos en bitsekvens som längden på den kortaste beskrivningen (program) som återger sekvensen. Detta blev grunden för det fält som idag kallas Kolmogorovkomplexitet eller algoritmisk informationsteori.

Pedagogik, skrifter och inflytande

Kolmogorov skrev både avancerade forskningsmonografier och läroböcker. Hans klarhet i presentation och hans sätt att formulera problem gjorde att många områden—särskilt sannolikhetsteori—blev lättare att undervisa och sprida. Han fungerade också som handledare för ett stort antal doktorander och påverkade flera generationer av sovjetiska och internationella matematiker.

Arvet efter Kolmogorov

Kolmogorovs idéer lever kvar i dagens matematik och i många tillämpningar: inom statistik och stokastiska modeller, inom fysik (särskilt turbulent flöde), inom teorin för dynamiska system och inom datavetenskap (algoritmisk komplexitet och informationsmått). Många begrepp bär hans namn — Kolmogorovs sats, Kolmogorov–Sinai-entropi, Kolmogorovkomplexitet med flera — och dessa verktyg används fortfarande aktivt i forskning och praktik.

För den som vill läsa mer: ett gott första steg är Kolmogorovs klassiska text från 1933, ofta refererad till med titeln Foundations of the Theory of Probability, samt översikter om K41-turbulens och introduktioner till algoritmisk komplexitet.

Frågor och svar

F: Vem var Andrey Nikolaevich Kolmogorov?

F: Vilka var några av Kolmogorovs tidiga karriärsinriktningar?

F: Var Kolmogorov involverad i studiet av klassisk mekanik?

Fråga: Vad är algoritmisk komplexitetsteori?

F: Var studerade och arbetade Kolmogorov?

F: Vem var Kolmogorovs doktorandhandledare?

F: När avled Kolmogorov?

Sök med bokstav