Statistik | gren av tillämpad matematik som handlar om att samla in, organisera, analysera, läsa och presentera data

Historia

Den första kända statistiken är folkräkningsuppgifter. Babylonierna gjorde en folkräkning omkring 3500 f.Kr., egyptierna omkring 2500 f.Kr. och de gamla kineserna omkring 1000 f.Kr.

Från och med 1500-talet utvecklade matematiker som Gerolamo Cardano sannolikhetsteorin, vilket gjorde statistiken till en vetenskap. Sedan dess har människor samlat in och studerat statistik om många saker. Träd, sjöstjärnor, stjärnor, stenar, ord, nästan allt som kan räknas har varit föremål för statistik.

 

Insamling av uppgifter

Innan vi kan beskriva världen med hjälp av statistik måste vi samla in data. De uppgifter som vi samlar in i statistiken kallas mätningar. När vi har samlat in data använder vi ett eller flera siffror för att beskriva varje observation eller mätning. Anta till exempel att vi vill ta reda på hur populärt ett visst tv-program är. Vi kan välja ut en grupp människor (ett så kallat urval) ur den totala populationen av tittare. Sedan frågar vi varje tittare i urvalet hur ofta de tittar på programmet. Urvalet är uppgifter som man kan se, och populationen är uppgifter som man inte kan se (om man antar att inte alla tittare i populationen tillfrågas). Ett annat exempel: Om vi vill veta om ett visst läkemedel kan hjälpa till att sänka blodtrycket kan vi ge läkemedlet till människor under en viss tid och mäta deras blodtryck före och efter.

 

Beskrivande och inferentiell statistik

Siffror som beskriver de data som man kan se kallas deskriptiv statistik. Siffror som gör förutsägelser om data som man inte kan se kallas inferentialstatistik.

Beskrivande statistik innebär att man använder siffror för att beskriva egenskaper hos data. Till exempel är genomsnittslängden för kvinnor i USA en deskriptiv statistik: den beskriver en egenskap (genomsnittslängden) hos en population (kvinnor i USA).

När resultaten har sammanfattats och beskrivits kan de användas för prognoser. Detta kallas inferentialstatistik. Som exempel kan nämnas att storleken på ett djur beror på många faktorer. Vissa av dessa faktorer kontrolleras av miljön, men andra är ärftliga. En biolog skulle därför kunna göra en modell som säger att det finns en hög sannolikhet för att avkomman kommer att vara liten i storlek - om föräldrarna var små i storlek. Denna modell gör det förmodligen möjligt att förutsäga storleken på ett bättre sätt än genom att bara gissa slumpmässigt. Att testa om ett visst läkemedel kan användas för att bota ett visst tillstånd eller en viss sjukdom görs vanligen genom att jämföra resultaten från personer som får läkemedlet med dem som får placebo.

 

Metoder

Oftast samlar vi in statistiska uppgifter genom att göra undersökningar eller experiment. En opinionsundersökning är till exempel en typ av undersökning. Vi väljer ut ett litet antal personer och ställer frågor till dem. Sedan använder vi deras svar som data.

Valet av vilka personer som ska delta i en undersökning eller datainsamling är viktigt eftersom det direkt påverkar statistiken. När statistiken är klar kan man inte längre avgöra vilka individer som tagits med. Anta att vi vill mäta vattenkvaliteten i en stor sjö. Om vi tar prover bredvid avloppet kommer vi att få andra resultat än om proverna tas på en avlägsen och svårtillgänglig plats i sjön.

Det finns två typer av problem som ofta uppstår vid provtagning:

1. Om det finns många stickprov, kommer stickproven sannolikt att ligga mycket nära den verkliga populationen. Om det däremot finns väldigt få prov kan de skilja sig mycket från vad de är i den verkliga populationen. Detta fel kallas slumpfel (se även Fel och residualer i statistik).
2. De personer som ingår i proverna måste väljas med omsorg. Vanligtvis väljs de slumpmässigt. Om så inte är fallet kan urvalet vara mycket annorlunda än vad det verkligen är i den totala populationen. Detta gäller även om ett stort antal stickprov tas. Denna typ av fel kallas bias.

Fel

Vi kan minska slumpmässiga fel genom att ta ett större urval, och vi kan undvika en viss bias genom att välja slumpmässigt. Ibland är det dock svårt att ta stora slumpmässiga urval. Och snedvridning kan uppstå om olika personer inte tillfrågas eller vägrar att svara på våra frågor, eller om de vet att de får en falsk behandling. Dessa problem kan vara svåra att åtgärda. Se standardfel för mer information.

 

Beskrivande statistik

Att hitta mitten av uppgifterna

Mittpunkten av uppgifterna kallas medelvärde. Genomsnittet berättar om en typisk individ i populationen. Det finns tre typer av medelvärden som ofta används: medelvärdet, medianen och modus.

I exemplen nedan används dessa exempeluppgifter:

Namn	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
Poäng	23	26	49	49	57	64	66	78	82	92

Medelvärde

Formeln för medelvärdet är

x ¯ = 1 N ∑ i = 1 N x i = x 1 + x 2 + ⋯ + x N N N {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{N}}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{N}}{N}}}}

Där x 1 , x 2 , ... , x N {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}} är data och N {\displaystyle N} är populationens storlek (se även Sigma-notation).

Detta innebär att man beräknar medelvärdet genom att addera alla värden och sedan dividera med antalet värden. I exemplet ovan är medelvärdet:

x ¯ = ( 23 + 26 + 49 + 49 + 49 + 57 + 64 + 66 + 78 + 82 + 92 ) / 10 = 58,6 {\displaystyle {\bar {x}}=(23+26+49+49+49+57+64+66+78+82+92)/10=58,6}

Problemet med medelvärdet är att det inte säger något om hur värdena är fördelade. Värden som är mycket stora eller mycket små ändrar medelvärdet mycket. I statistiken kan dessa extremvärden vara mätfel, men ibland innehåller populationen verkligen dessa värden. Om det till exempel finns 10 personer i ett rum som tjänar 10 dollar per dag och 1 som tjänar 1 000 000 dollar per dag. Medelvärdet av uppgifterna är 90 918 dollar per dag. Även om det är det genomsnittliga beloppet är medelvärdet i det här fallet inte det belopp som en enskild person tjänar, och är därför inte särskilt användbart för vissa ändamål.

Det medelvärde som beskrivs ovan är det "aritmetiska medelvärdet". Andra typer är användbara för vissa ändamål.

Median

Medianen är den mellersta posten i uppgifterna. För en given data X {\displaystyle X} , skrivs detta ibland som X ~ {\displaystyle {\widetilde {X}}} . För att hitta medianen sorterar vi uppgifterna från det minsta talet till det största talet och väljer sedan talet i mitten. Om det finns ett jämnt antal data kommer det inte att finnas ett nummer precis i mitten, så vi väljer de två mittersta och beräknar deras medelvärde. I vårt exempel ovan finns det 10 uppgifter, de två mittersta är "57" och "64", så medianen är (57+64)/2 = 60,5.

Som ett annat exempel, som liknar inkomstexemplet som presenterades för medelvärdet, kan man tänka sig ett rum med 10 personer som har inkomster på 10, 20, 20, 20, 40, 50, 60, 90, 90, 90, 100 och 1 000 000 dollar. Här är medianen 55 dollar, eftersom 55 dollar är medelvärdet av de två mittersta siffrorna, 50 dollar och 60 dollar. Om man bortser från extremvärdet 1 000 000 dollar blir medianen 53 dollar. I detta fall ligger medianen nära det värde som erhålls när extremvärdet kastas bort. Medianen löser problemet med extremvärden som beskrivs i definitionen av medelvärde ovan.

Läge

Läget är den mest frekventa uppgiften. Den vanligaste bokstaven på engelska är till exempel bokstaven "e". Vi skulle säga att "e" är modus i fördelningen av bokstäverna.

Ett annat exempel: Om det finns 10 personer i ett rum med inkomster på 10, 20, 20, 20, 40, 50, 60, 90, 90, 90, 90, 90, 100 och 1 000 000 dollar är modusvärdet 90 dollar, eftersom 90 dollar förekommer tre gånger och alla andra värden förekommer färre än tre gånger.

Det kan finnas mer än ett läge. Om det till exempel finns tio personer i ett rum med inkomster på 10, 20, 20, 20, 20, 20, 50, 60, 90, 90, 90, 90, 90, 100 och 1 000 000 dollar är lägena 20 och 90 dollar. Detta är bi-modalt, eller har två modaliteter. Bi-modalitet är mycket vanligt och indikerar ofta att data är en kombination av två olika grupper. Till exempel har den genomsnittliga längden för alla vuxna i USA en bipmodal fördelning. Detta beror på att män och kvinnor har separata genomsnittslängder på 1,763 m (5 ft 9 + 1⁄2 in) för män och 1,622 m (5 ft 4 in) för kvinnor. Dessa toppar är tydliga när båda grupperna kombineras.

Modus är den enda form av medelvärde som kan användas för data som inte kan ordnas.

Hitta spridningen av uppgifterna

En annan sak som vi kan säga om en uppsättning data är hur utspridda de är. Ett vanligt sätt att beskriva spridningen av en uppsättning data är standardavvikelsen. Om standardavvikelsen för en uppsättning data är liten ligger de flesta data mycket nära genomsnittet. Om standardavvikelsen däremot är stor är en stor del av uppgifterna mycket annorlunda än genomsnittet.

Standardavvikelsen för ett urval skiljer sig i allmänhet från standardavvikelsen för den ursprungliga populationen . Därför skriver vi σ {\displaystyle \sigma } för populationens standardavvikelse och s {\displaystyle s} för urvalets standardavvikelse.

Om data följer ett vanligt mönster som kallas normalfördelning är det mycket användbart att känna till standardavvikelsen. Om uppgifterna följer detta mönster (vi skulle säga att uppgifterna är normalfördelade) kommer ungefär 68 av 100 uppgifter att avvika från genomsnittet med mindre än standardavvikelsen. Inte bara det, utan ungefär 95 av 100 mätningar kommer att avvika från genomsnittet med mindre än två gånger standardavvikelsen, och ungefär 997 av 1000 kommer att ligga närmare genomsnittet med mindre än tre standardavvikelser.

Annan beskrivande statistik

Vi kan också använda statistik för att ta reda på att en viss procent, percentil, antal eller bråkdel av människor eller saker i en grupp gör något eller passar in i en viss kategori.

Samhällsvetare använde till exempel statistik för att ta reda på att 49 procent av världens människor är män.

 

Relaterad programvara

För att stödja statistiker har många statistiska program utvecklats:

• MATLAB
• R
• SAS Institute
• SPSS (tillverkad av IBM)