Ljusklockan är

Ljusklockan är ett enkelt sätt att visa en grundläggande egenskap hos den speciella relativitetsteorin. En klocka är utformad för att fungera genom att en ljusblixt studsar mot en avlägsen spegel och använder dess återkomst för att utlösa en annan ljusblixt, samtidigt som man räknar hur många ljusblixtar som har inträffat på vägen. Det är lätt att visa att människor på jorden som ser ett rymdskepp flyga över oss med en sådan klocka skulle se att den tickar relativt långsamt. Denna effekt kallas tidsutvidgning.

Innan vi studerar ljusklockan ska vi tänka på en annan typ av relativitet. Föreställ dig att någon dribblar en basketboll i lastrummet på ett stort fraktflygplan. Basketspelaren rör sig i samma riktning som jetplanet. De andra personerna i planet ser att han rör sig en meter eller två när han gör en dribbling. Mellan det att bollen studsar första gången och det att bollen studsar andra gången har det gått ungefär en sekund. Men när den första studsen inträffade var basketbollen över Gibraltar, och när den andra studsen inträffade var basketbollen över vattnet närmare Spanien. Basketbollen har alltså förflyttat sig 280 meter i förhållande till jorden.

Tänk nu på en något liknande fråga om relativ rörelse. Den här gången ska vi undersöka vad människor som tittar på stjärnor från Nordpolen ser när ett mycket snabbt rymdskepp flyger över dem. Vi kan använda algebra och Pythagoras sats för att beräkna hur mycket tiden saktar ner på rymdskeppet. Det enda andra vi behöver är ekvationen som relaterar avståndet, d, reshastigheten, r, och tiden, t. Ekvationen är:

d = rt

Ljusets hastighet är konstant, så vi kommer att tillämpa detta värde på två problem. Vi kallar ljusets hastighet för c, eftersom det är den bokstav som forskare vanligtvis använder för att benämna den.

En klocka tillverkas genom att man placerar en ljusutgång längst ner på en lång stång, en spegel på toppen av stången och en elektronisk ljusdetektor längst ner på stången. Klockan startas genom att man kort stänger en strömbrytare som skickar en ljusblinkning från nedre delen av stolpen till toppen av stolpen där den reflekteras tillbaka till nedre delen av stolpen. När ljusdetektorn i botten av stolpen ser ljuset blinka gör den två saker. Den lägger till en till den räknare som är fäst vid den, och den avfyrar ytterligare en ljusklick upp till spegeln. När ljuset kommer tillbaka till botten ändras räkningen till två och ett nytt ljusblink utlöses. Eftersom ljuset färdas mycket snabbt (300 000 kilometer/sekund) kommer ljusklockan att "ticka" ett mycket stort antal gånger för varje sekund som mäts med en vanlig klocka.

För att göra matematiken enklare säger vi att stången är en halv kilometer lång. Så om vi står vid ljusklockan som är byggd bredvid det stora teleskopet på Nordpolen, ser vi att ljuset färdas en kilometer för varje "tick" av ljusklockan. Eftersom den tillryggalagda sträckan, d, är lika med hastigheten multiplicerad med tiden, och den aktuella hastigheten är c, har vi ekvationen:

d = ct

och vi kan lösa ekvationen för t för att få reda på hur lång tid i sekunder varje "tick" är.

1 km = 300 000 km/sekund * t sekunder

t sekunder = 1 km/300 000 (km/sekund) = 1/300 000 sekunder = 0,00000333...3 sekunder

Med andra ord tar varje "tick" av ljusklockan 0,00000333...3 sekunder.

Om ett rymdskepp flög på en rak linje och passerade över Nordpolen med en stor del av ljusets hastighet, och det hade en liknande klocka, skulle människor som observerade dess passage se att spegeln på toppen av polen hade flyttats från direkt över ljuset, så att ljuset skulle färdas längs linjen markerad med h i diagrammet, och sedan skulle det följa den andra hypotenusan ner till basen av polen - som vid det här laget skulle ha flyttat sig en bit eftersom rymdskeppet rör sig så snabbt. Vi kan räkna ut hur mycket tid en tick skulle ta enligt människorna på jorden. Vi vet att rymdskeppets pol har en längd på a eftersom det är samma typ av klocka som folk använder på Nordpolen. Vi vill räkna ut t' , den tid det tar att göra en tick på klockan på rymdskeppet.

Vi vet att rymdskeppet kommer att färdas 1/2 r t' medan ljuset blinkar uppåt mot spegeln, och ytterligare 1/2 r t' medan ljuset blinkar neråt mot stolpens bas. Denna beräkning ger oss längden på linje b i diagrammet. Vi känner till a, så vi kan räkna ut h med hjälp av Pythagoras sats:

h = √(a2 + (rt' /2)²)

Ljusets totala sträcka är alltså 2 h eller d = 2 √(a2 + (rt' /2)²)

Vi vet också att ljusets hastighet c är konstant. Oavsett vem som mäter den visar det sig att den är samma hastighet. Så vi kan använda detta faktum för att få ett annat sätt att beräkna hur lång tid det tar för ljusblixten att gå från basen till toppen av polen och tillbaka igen:

t' = d/c

Med andra ord är d = c t' .

Vi kan alltså skriva

c t' = 2 √(a2 + (rt' /2)²)

eller .

1/2 c t' = √(a2 + (rt' /2)²)

För att lösa ekvationen ovan måste vi:

1. Kvadrat på båda sidorna
2. Dela båda sidorna med t' ²
3. Multiplicera båda sidorna med 4
4. Dela båda sidorna med c2
5. Förenkla c2 / c2
6. Subtrahera r2/c2 från båda sidorna.
7. Ta kvadratroten av båda sidorna
8. Multiplicera båda sidorna med t'
9. Dela båda sidorna med √(1-r2/c2)

Genom att lösa ekvationen ovan finner vi att:

t' = 2a/(c√(1-r2/c2)

Tiden mellan tickarna på klockan på Nordpolen är 2a/c, så vi kan skriva:

t' = t/√(1-r2/c2)

Om t = 1 sekund, så är t' = 1,1547 sek. om rymdskeppet färdas med halva ljusets hastighet.

Experimentera med olika hastigheter på: http://www.1728.org/reltivty.htm

Frågor och svar

F: Vad är en ljusklocka?

F: Vad är tidsutvidgning?

F: Hur kan vi beräkna hur mycket tiden saktar ner i ett rymdskepp?

F: Hur fungerar en ljusklocka?

F: Vilken ekvation behöver vi för denna beräkning?

F. Hur förhåller sig Pythagoras sats till denna beräkning?

Sök med bokstav