Tidsdilatation: gravitationell och rörelseberoende fördröjning av tid

Experiment stöder båda aspekterna av tidsutvidgning.

Formeln för att bestämma tidsutvidgningen i den speciella relativitetsteorin är:

Δ t ′ = Δ t 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle \Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,}

där

Δ t {\displaystyle \Delta t\\,} är tidsintervallet för en observatör (t.ex. tickar på hans klocka) - detta kallas den egentliga tiden,

Δ t ′ {\displaystyle \Delta t'\,} är tidsintervallet för den person som rör sig med hastigheten v i förhållande till observatören,

v {\displaystyle v\,} är den relativa hastigheten mellan observatören och den rörliga klockan,

c {\displaystyle c\,} är ljusets hastighet.

Det kan också skrivas som:

Δ t ′ = γ Δ t {\displaystyle \Delta t'=\gamma \Delta t\,}

där

γ = 1 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,} är Lorentzfaktorn.

En enkel sammanfattning är att klockan i vila mäter mer tid än den rörliga klockan, och att den rörliga klockan därför "går långsamt".

När de båda klockorna inte rör sig i förhållande till varandra är de två tiderna som mäts desamma. Detta kan bevisas matematiskt genom att

Δ t ′ = Δ t 1 - 0 / c 2 = Δ t {\displaystyle \Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-0/c^{2}}}}={\Delta t}\,}

Till exempel: I ett rymdskepp som rör sig med 99 % av ljusets hastighet går ett år. Hur mycket tid kommer att gå på jorden?

v = 0,99 c {\displaystyle v=0,99c\,}

Δ t = 1 {\displaystyle \Delta t=1\,} år

Δ t ′ = ? {\displaystyle \Delta t'=?\,}

Genom att ersätta med: Δ t ′ = Δ t 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle \Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,}

Δ t ′ = 1 1 1 - ( .99 c ) 2 / c 2 = 1 1 - ( . 99 ) 2 ( c ) 2 c 2 = 1 1 - ( .99 ) 2 {\displaystyle \Delta t'={\frac {1}{\sqrt {1-(.99c)^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {(.99)^{2}(c)^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-(.99)^{2}}}}}

= 1 1 1 - 0.9801 = 1 0.0199 = 7.08881205 {\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {1-0.9801}}}={\frac {1}{\sqrt {0.0199}}}=7.08881205} år

För varje år i rymdskeppet kommer det alltså att gå ungefär 7,09 år på jorden.

I det vanliga livet idag har tidsutvidgningen inte varit en faktor, där människor rör sig i hastigheter som är mycket lägre än ljusets hastighet, men hastigheterna är inte tillräckligt stora för att ge upphov till någon påvisbar tidsutvidgningseffekt. Sådana försvinnande små effekter kan säkert ignoreras. Det är först när ett objekt närmar sig hastigheter i storleksordningen 30 000 kilometer per sekund (67 000 000 000 mph) (10 % av ljusets hastighet) som tidsutvidgningen blir viktig.

Det finns dock praktiska användningsområden för tidsutvidgning. Ett stort exempel är att hålla GPS-satelliternas klockor exakta. Om man inte tar hänsyn till tidsutvidgningen skulle GPS-resultatet vara värdelöst, eftersom tiden går snabbare på satelliter som befinner sig så långt från jordens gravitation. GPS-enheterna skulle beräkna fel position på grund av tidsskillnaden om inte rymdklockorna ställdes in så att de går långsammare på jorden för att kompensera för den snabbare tiden i hög omloppsbana runt jorden (geostationär omloppsbana).