Speciella relativitetsteorin

Grunderna för den speciella relativiteten

Anta att du rör dig mot något som rör sig mot dig. Om du mäter dess hastighet verkar det som om det rör sig snabbare än om du inte rör dig. Anta nu att du rör dig bort från något som rör sig mot dig. Om du återigen mäter dess hastighet verkar det som om det rör sig långsammare. Detta är idén om "relativ hastighet" - föremålets hastighet i förhållande till dig.

Före Albert Einstein försökte forskarna mäta ljusets "relativa hastighet". De gjorde detta genom att mäta hastigheten hos stjärnljus som når jorden. De förväntade sig att om jorden rörde sig mot en stjärna skulle ljuset från den stjärnan verka snabbare än om jorden rörde sig bort från stjärnan. De märkte dock att oavsett vem som utförde experimenten, var experimenten utfördes eller vilket stjärnljus som användes, var den uppmätta ljushastigheten i ett vakuum alltid densamma.

Einstein sa att detta sker eftersom det finns något oväntat med längd och varaktighet, dvs. hur länge något varar. Han trodde att när jorden rör sig genom rymden förändras alla mätbara varaktigheter mycket lite. Varje klocka som används för att mäta en varaktighet kommer att vara fel med exakt rätt mängd så att ljusets hastighet förblir densamma. Genom att föreställa sig en "ljusklocka" kan vi bättre förstå detta anmärkningsvärda faktum när det gäller en enda ljusvåg.

Einstein sa också att när jorden rör sig genom rymden förändras alla mätbara längder (i liten utsträckning). Varje anordning som mäter längden kommer att ge en längd som är exakt rätt så stor avvikelse att ljusets hastighet förblir densamma.

Det svåraste är att förstå att händelser som verkar vara samtidiga i en ram kanske inte är samtidiga i en annan. Detta har många effekter som inte är lätta att uppfatta eller förstå. Eftersom längden på ett föremål är avståndet från huvud till svans i ett samtidigt ögonblick, följer att om två observatörer är oense om vilka händelser som är samtidiga så kommer detta att påverka (ibland dramatiskt) deras mätningar av längden på föremål. Om en rad klockor verkar synkroniserade för en stationär observatör och verkar vara osynkroniserade för samma observatör efter att ha accelererat till en viss hastighet följer det dessutom att klockorna under accelerationen hade olika hastigheter. Vissa kan till och med ha gått baklänges. Detta resonemang leder till den allmänna relativitetsteorin.

Andra forskare före Einstein hade skrivit om att ljuset tycktes ha samma hastighet oavsett hur det observerades. Det som gjorde Einsteins teori så revolutionerande är att den anser att mätningen av ljusets hastighet per definition är konstant, med andra ord är det en naturlag. Detta har de anmärkningsvärda konsekvenserna att hastighetsrelaterade mätningar, längd och varaktighet, förändras för att tillgodose detta.

Lorentztransformationerna

De matematiska grunderna för den speciella relativitetsteorin är Lorentz-transformationerna, som matematiskt beskriver synen på rum och tid för två observatörer som rör sig relativt till varandra men inte upplever acceleration.

För att definiera transformationerna använder vi ett kartesiskt koordinatsystem för att matematiskt beskriva tid och rum för "händelser".

Varje observatör kan beskriva en händelse som positionen för något i rummet vid en viss tidpunkt med hjälp av koordinater (x,y,z,t).

Platsen för händelsen definieras i de tre första koordinaterna (x,y,z) i förhållande till ett godtyckligt centrum (0,0,0) så att (3,3,3) är en diagonal som sträcker sig tre enheter i varje riktning.

Tidpunkten för händelsen beskrivs med den fjärde koordinaten t i förhållande till en godtycklig (0) tidpunkt i någon tidsenhet (t.ex. sekunder, timmar eller år).

Låt det finnas en observatör K som beskriver när händelserna inträffar med en tidskoordinat t, och som beskriver var händelserna inträffar med rumsliga koordinater x, y och z. Detta definierar matematiskt den första observatören vars "synvinkel" kommer att vara vår första referens.

Låt oss ange att tiden för en händelse är given: genom den tid då den observeras t_(observerad) (till exempel idag, klockan 12) minus den tid som det tog för observationen att nå observatören.

Detta kan beräknas som avståndet från observatören till händelsen d_(observerad) (låt oss säga att händelsen sker på en stjärna som är 1 ljusår bort, så det tar ljuset 1 år att nå observatören) dividerat med c, ljusets hastighet (flera miljoner kilometer i timmen), som vi definierar som lika för alla observatörer.

Detta är korrekt eftersom avståndet dividerat med hastigheten ger den tid det tar att gå avståndet i den hastigheten (t.ex. 30 miles dividerat med 10 mph: ger oss 3 timmar, för om du går i 10 mph i 3 timmar når du 30 miles). Vi får alltså följande:

t = d / c {\displaystyle t=d/c}

Detta är en matematisk definition av vad varje "tid" betyder för varje observatör.

Med dessa definitioner på plats, låt det finnas en annan observatör K' som är

• rör sig längs x-axeln i K med hastigheten v,
• har ett rumsligt koordinatsystem med x' , y' och z' ,

där x'-axeln sammanfaller med x-axeln och med y- och z-axlarna - "är alltid parallell" med y- och z-axlarna.

Detta innebär att när K' anger en plats som (3,1,2) är x (som är 3 i detta exempel) samma plats som K, den första observatören, skulle tala om, men 1 på y-axeln eller 2 på z-axeln är bara parallella med någon plats i K' observatörens koordinatsystem, och

• där K och K' sammanfaller vid t = t' = 0.

Detta innebär att koordinaten (0,0,0,0,0) är samma händelse för båda observatörerna.

Med andra ord har båda observatörerna (åtminstone) en tid och plats som de båda är överens om, nämligen plats och tid noll.

Lorentztransformationerna är då

t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

y ′ = y {\displaystyle y'=y} och

z ′ = z {\displaystyle z'=z}.

Definiera en händelse som har rymdtidskoordinater (t,x,y,z) i system S och (t′,x′,y′,z′) i en referensram som rör sig med en hastighet v i förhållande till denna ram, S′. Lorentztransformationen anger att dessa koordinater är relaterade på följande sätt: är Lorentzfaktorn och c är ljusets hastighet i vakuum, och hastigheten v i S′ är parallell med x-axeln. För enkelhetens skull påverkas inte y- och z-koordinaterna, utan endast x- och t-koordinaterna transformeras. Dessa Lorentztransformationer bildar en grupp av linjära avbildningar med en parameter, där parametern kallas för snabbhet.

Om man löser de fyra transformationsekvationerna ovan för de oinställda koordinaterna får man fram den omvända Lorentztransformationen:

t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}

Genom att tvinga fram denna omvända Lorentztransformation så att den sammanfaller med Lorentztransformationen från det primade till det oprimade systemet, visas att den oprimade ramen rör sig med hastigheten v′ = -v, som uppmätt i den primade ramen.

Det finns inget speciellt med x-axeln. Transformationen kan tillämpas på y- eller z-axeln, eller i vilken riktning som helst, vilket kan göras genom riktningar parallella med rörelsen (som förvrängs med γ-faktorn) och vinkelräta; se artikeln Lorentz-transformation för mer information.

En storhet som är invariant under Lorentztransformationer kallas Lorentzskalar.

Lorentztransformationen och dess omvänt uttryckta i koordinatdifferenser, där en händelse har koordinaterna (x1, t1) och (x′1, t′1), en annan händelse har koordinaterna (x2, t2) och (x′2, t′2), och skillnaderna definieras som

Eq. 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\, \ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ . }

Eq. 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ , \ \ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ . }

får vi

Eq. 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma \(\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ \ } Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ . }

Eq. 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\displaystyle \Delta x=\gamma \(\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ } Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ . }

Om vi tar differentialer i stället för att ta skillnader, får vi

Eq. 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \(dx-v\,dt)\ ,\ \ } d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\\displaystyle dt'=\gamma \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ . }

Eq. 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \(dx'+v\,dt')\ ,\ } d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . {\displaystyle dt=\gamma \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ . }

Massa, energi och rörelsemängd

I den speciella relativitetsteorin är rörelsemängden p {\displaystyle p} och den totala energin E {\displaystyle E} för ett objekt som en funktion av dess massa m {\displaystyle m} följande

p = m v 1 - v 2 c 2 {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}}}

och

E = m c 2 1 - v 2 c 2 {\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}}}.

Ett vanligt misstag (även i vissa böcker) är att skriva om denna ekvation med hjälp av en "relativistisk massa" (i rörelseriktningen) m r = m 1 - v 2 c 2 {\displaystyle m_{r}={\frac {m}{{\sqrt {1-{{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} . Anledningen till att detta är felaktigt är att ljuset till exempel inte har någon massa, men däremot energi. Om vi använder denna formel har fotonen (ljuspartikeln) en massa, vilket enligt experimenten är felaktigt.

I den speciella relativitetsteorin är ett objekts massa, totala energi och rörelsemängd relaterade till varandra genom ekvationen

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}} .

För ett objekt i vila är p = 0 {\displaystyle p=0} så ovanstående ekvation förenklas till E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}}} . Ett massivt objekt i vila har alltså fortfarande energi. Vi kallar denna viloenergi för E 0 {\displaystyle E_{0}} :

E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}} .

Historia

Behovet av särskild relativitetsteori uppstod på grund av Maxwells ekvationer för elektromagnetism, som publicerades 1865. Det visade sig senare att de kräver att elektromagnetiska vågor (t.ex. ljus) rör sig med konstant hastighet (dvs. ljusets hastighet).

För att James Clerk Maxwells ekvationer skulle vara förenliga med både astronomiska observationer^[1] och Newtons fysik^[2] föreslog Maxwell 1877 att ljuset färdas genom en eter som finns överallt i universum.

År 1887 försökte man i det berömda Michelson-Morley-experimentet upptäcka den "eternvind" som uppstår genom jordens rörelse. ^{[3] De} ihållande nollresultaten av detta experiment förbryllade fysikerna och ifrågasatte eterteorin.

År 1895 konstaterade Lorentz och Fitzgerald att det nollresultat som Michelson-Morley-experimentet gav kunde förklaras av att eternvinden drog ihop experimentet i eterns rörelseriktning. Denna effekt kallas Lorentzkontraktion och är (utan eter) en konsekvens av den speciella relativitetsteorin.

År 1899 publicerade Lorentz Lorentz ekvationer för första gången. Även om det inte var första gången de publicerades var det första gången de användes som förklaring till Michelson-Morleys nollresultat, eftersom Lorentzkontraktionen är ett resultat av dem.

År 1900 höll Poincaré ett berömt tal där han ansåg att det kunde behövas en "ny fysik" för att förklara Michelson-Morley-experimentet.

1904 visade Lorentz att elektriska och magnetiska fält kan ändras till varandra genom Lorentztransformationer.

1905 publicerade Einstein sin artikel om den speciella relativitetsteorin, "On the Electrodynamics of Moving Bodies", i Annalen der Physik. I denna artikel presenterade han relativitetspostulaten, härledde Lorentztransformationerna från dem och (utan att känna till Lorentz artikel från 1904) visade han också hur Lorentztransformationerna påverkar elektriska och magnetiska fält.

Senare 1905 publicerade Einstein en ny artikel där han presenterade E = mc2.

1908 godkände Max Planck Einsteins teori och gav den namnet "relativitetsteori". Samma år höll Hermann Minkowski ett berömt tal om rum och tid där han visade att relativitetsteorin är självkonsistent och vidareutvecklade teorin. Dessa händelser tvingade fysikgemenskapen att ta relativitetsteorin på allvar. Relativitetsteorin kom att bli mer och mer accepterad efter det.

1912 nominerades Einstein och Lorentz till Nobelpriset i fysik för sitt banbrytande arbete med relativitetsteorin. Tyvärr var relativitetsteorin så kontroversiell då, och förblev kontroversiell så länge, att det aldrig gavs något Nobelpris för den.

Experimentella bekräftelser

• Michelson-Morley-experimentet, där man inte lyckades upptäcka någon skillnad i ljusets hastighet beroende på ljusets riktning.
• Fizeaus experiment, där ljusets brytningsindex i rörligt vatten inte kan fås att vara mindre än 1. De observerade resultaten förklaras med den relativistiska regeln för att addera hastigheter.
• Ljusets energi och rörelsemängd följer ekvationen E = p c {\displaystyle E=pc} . (I Newtonsk fysik förväntas detta vara E = 1 2 p c {\displaystyle E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}}\end{matrix}}}pc}.)
• Den transversala dopplereffekten, som innebär att det ljus som sänds ut av ett objekt i snabb rörelse förskjuts i rött på grund av tidsutvidgning.
• Förekomsten av myoner som skapas i den övre atmosfären vid jordytan. Problemet är att det tar mycket längre tid än myonernas halveringstid att nå ner till jordytan, även med nästan ljusets hastighet. Deras närvaro kan ses som en följd av antingen tidsutvidgning (enligt vår uppfattning) eller längdkontraktion av avståndet till jordytan (enligt myonernas uppfattning).
• Partikelacceleratorer kan inte byggas utan att ta hänsyn till relativistisk fysik.

Relaterade sidor

• Allmän relativitetsteori