Kvadratiskt tal
En översikt av kvadratiska tal: definition, egenskaper, historisk bakgrund, exempel och tillämpningar inom aritmetik, geometri och talteori.
Översikt
Ett kvadratiskt tal, ofta kallat ett perfekt kvadrat, är ett heltal som kan skrivas som ett heltalsprodukt med sig självt. Med symboliken n2 (läses "n i kvadrat" eller "n squared") menas produkten n·n. De första exemplen på sådana tal är 1, 4, 9, 16 och 25. Ett annat sätt att känna igen ett kvadrattal är att dess kvadratrot är ett heltal.
Bildgalleri
3 Bilder
Definition och grundegenskaper
Formellt är ett tal m kvadratiskt om det finns ett heltal n med m = n·n. Detta gör att alla kvadrattal är icke-negativa. Ett enkelt kvalitativt test är att kontrollera att kvadratroten är heltalsmässig; till exempel √9 = 3, vilket visar att 9 är ett kvadrattal. Allmän notation och ord bakom begreppet hänger samman med geometrin: ett kvadrattal representerar arean av en kvadrat med heltalslängd på sidan.
Egenskaper och formler
Några välkända aritmetiska egenskaper är att varje kvadrattal kan uttryckas som n2, och att summan av de första n udda talen alltid blir n2. Kvadrattal förekommer också i kongruenssatser: ett heltalskvadrat är alltid kongruent mot 0 eller 1 modulo 4. Många algebraiska satser och identiteter relaterar kvadrater till polynom, faktoriseringar och kvadreringsregler.
Exempel och beräkningar
- 1 = 1·1
- 4 = 2·2
- 9 = 3·3
- 16 = 4·4
- 25 = 5·5
Att känna igen kvadrattal är användbart i problemlösning: många heltalsproblem reduceras till att avgöra om ett uttryck är en perfekt kvadrat.
Historia och samband
Idén att multiplicera ett tal med sig självt och betrakta resultatet som en geometrisk area går långt tillbaka i antiken. Människor i flera gamla kulturer studerade kvadrater och kvadrattal i samband med mätning, algebraiska beräkningar och talteori. I modern matematik spelar kvadrattal en grundläggande roll inom talteori, diskret geometri och aritmetiska funktioner.
Användningar och noterbara fakta
Kvadrattal används praktiskt i geometriska areaberäkningar, inom fysik för kvadratiska skalor, och i algoritmanalys där komplexitet ofta växer kvadratiskt. I talteorin studerar man kvadratfria tal, kvadratiska rester och representationer av heltal som summor av kvadrater. För referenser och vidare läsning om grundläggande definitioner och samband se exempelvis heltal, multiplikation, kvadratiska tal, exponentiering och kvadratrot.
Exempel
De rutor (sekvens A000290 i OEIS) som är mindre än 702 är:
102 =100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481
602 = 3600
612 = 3721
622 = 3844
632 = 3969
642 = 4096
652 = 4225
662 = 4356
672 = 4489
682 = 4624
692 = 4761
Det finns oändligt många kvadrattal, liksom det finns oändligt många naturliga tal.
Egenskaper
Talet m är ett kvadratiskt tal om och endast om man kan komponera en kvadrat av m lika stora (mindre) kvadrater:
| m = 12 = 1 |
|
| m = 22 = 4 |
|
| m = 32 = 9 |
|
| m = 42 = 16 |
|
| m = 52 = 25 |
|
| Anmärkning: De vita mellanrummen mellan rutorna är endast till för att förbättra den visuella uppfattningen. | |
En kvadrat med sidlängden n har arean n . 2
Uttrycket för det n:e kvadrattalet är n2 . Detta är också lika med summan av de första n udda talen, vilket framgår av bilderna ovan, där en kvadrat uppstår ur den föregående genom att lägga till ett udda antal punkter (magenta). Formeln följer nedan:
n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } 
Till exempel 52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Ett kvadratiskt tal kan endast sluta med siffrorna 0, 1, 4, 6, 9 eller 25 i bas 10, enligt följande:
- Om den sista siffran i ett tal är 0, slutar dess kvadrat med ett jämnt antal 0:or (alltså minst 00) och de siffror som föregår de avslutande 0:orna måste också bilda en kvadrat.
- Om den sista siffran i ett tal är 1 eller 9 slutar kvadraten på 1 och det tal som bildas av de föregående siffrorna måste vara delbart med fyra.
- Om den sista siffran i ett tal är 2 eller 8 slutar kvadraten på 4 och den föregående siffran måste vara jämn.
- Om den sista siffran i ett tal är 3 eller 7 slutar dess kvadrat på 9 och det tal som bildas av de föregående siffrorna måste vara delbart med fyra.
- Om den sista siffran i ett tal är 4 eller 6 slutar kvadraten på 6 och den föregående siffran måste vara udda.
- Om den sista siffran i ett tal är 5 slutar kvadraten på 25 och de föregående siffrorna måste vara 0, 2, 06 eller 56.
Ett kvadratiskt tal kan inte vara ett perfekt tal.
Alla fjärde, sjätte och åttonde potenser och så vidare är perfekta kvadrater.
Särskilda fall
- Om talet är av formen m5 där m representerar de föregående siffrorna, är dess kvadrat n25 där n = m × (m + 1) och representerar siffrorna före 25. Exempelvis kan kvadraten på 65 beräknas med n = 6 × (6 + 1) = 42, vilket gör kvadraten lika med 4225.
- Om talet är av formen m0 där m representerar de föregående siffrorna, är dess kvadrat n00 där n = m2 . Exempelvis är kvadraten på 70 4900.
- Om talet har två siffror och är av formen 5m där m representerar enhetens siffra, är dess kvadrat AABB där AA = 25 + m och BB = m2 . Exempel: För att beräkna kvadraten på 57, 25 + 7 = 32 och 72 = 49, vilket innebär att 572 = 3249.
Udda och jämna kvadrattal
Kvadrater av jämna tal är jämna (och faktiskt delbara med 4), eftersom (2n)2 = 4n2 .
Kvadrater av udda tal är udda, eftersom (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.
Av detta följer att kvadratrötter av jämna kvadrattal är jämna och att kvadratrötter av udda kvadrattal är udda.
Eftersom alla kvadratiska jämna tal är delbara med 4 är de jämna talen av formen 4n + 2 inte kvadratiska tal.
Eftersom alla ojämna kvadrattal är av formen 4n + 1, är de ojämna talen av formen 4n + 3 inte kvadrattal.
Kvadrater av udda tal är av formen 8n + 1, eftersom (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1 och n(n + 1) är ett jämnt tal.
Relaterade artiklar
Författare
AlegsaOnline.com Kvadratiskt tal Leandro Alegsa
URL: https://sv.alegsaonline.com/art/92934