Potens | en aritmetisk operation på tal

Inom matematiken är exponentiering (potens) en aritmetisk operation på tal. Den kan ses som upprepad multiplikation, precis som multiplikation kan ses som upprepad addition.

Generellt sett kan två tal x {\displaystyle x} och y {\displaystyle y} kan exponentieringen av x {\displaystyle x} och y {\displaystyle y} skrivas som x y {\displaystyle x^{y}}} $x^{y}$ och kan läsas som " x {\displaystyle x} upphöjt till potensen av y {\displaystyle y} ", eller " x {\displaystyle x} i y {\displaystyle y} e potens". Andra metoder för matematisk notation har använts tidigare. När det övre indexet inte kan skrivas kan man skriva potenser med hjälp av tecknen ^ eller **, så att 2^4 eller 2**4 betyder 2 4 {\displaystyle 2^{4}}}. $2^{4}$ .

Här kallas talet x {\displaystyle x} för bas och talet y {\displaystyle y} för exponent. Till exempel, i 2 4 {\displaystyle 2^{4}} $2^{4}$ är 2 basen och 4 exponenten.

För att beräkna 2 4 {\displaystyle 2^{4}} $2^{4}$ multiplicerar man helt enkelt 4 kopior av 2. Så 2 4 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ $2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ , och resultatet är 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ . Ekvationen skulle kunna läsas högt som "2 upphöjt till 4 är lika med 16".

Fler exempel på exponentiering är:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ för varje tal x

Om exponenten är lika med 2 kallas potensen för kvadratisk, eftersom arean av en kvadrat beräknas med hjälp av en 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ . Så

x 2 {\displaystyle x^{2}}} $x^{2}$ är kvadraten på x {\displaystyle x}

På samma sätt, om exponenten är lika med 3, kallas potensen för kub, eftersom volymen av en kub beräknas med hjälp av en 3 {\displaystyle a^{3}} $a^{3}$ . Så

x 3 {\displaystyle x^{3}}} $x^{3}$ är kuben av x {\displaystyle x}

Om exponenten är lika med -1 är potensen helt enkelt reciproken av basen. Så

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Om exponenten är ett heltal som är mindre än 0 är potensen den reciproka potensen upphöjd till motsatt exponent. Till exempel:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Om exponenten är lika med 1 2 {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {1}{2}}}} ${\tfrac {1}{2}}$ Då är resultatet av exponentieringen kvadratroten av basen, med x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}}={\sqrt {x}}.} $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Till exempel:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}}={\sqrt {4}}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

På samma sätt, om exponenten är 1 n {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {1}{n}}} ${\tfrac {1}{n}}$ är resultatet den n:e roten, där:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}}={\sqrt[{n}]{a}}}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Om exponenten är ett rationellt tal p q {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}} ${\tfrac {p}{q}}$ är resultatet den q:e roten av basen upphöjd till potensen av p:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

I vissa fall är exponenten inte ens rationell. För att höja en bas a till en irrationell x:e potens använder vi en oändlig sekvens av rationella tal (x_n ), vars gräns är x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

som detta:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Det finns några regler som gör det lättare att beräkna exponenter:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}}{b^{n}}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s}},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

Det är möjligt att beräkna exponentiering av matriser. I detta fall måste matrisen vara kvadratisk. Till exempel: I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Kommutativitet

Både addition och multiplikation är kommutativa. Till exempel är 2+3 detsamma som 3+2, och 2 - 3 är detsamma som 3 - 2. Även om exponentiering är upprepad multiplikation är den inte kommutativ. Till exempel: 2³=8, men 3²=9.

Inversa operationer

Addition har en omvänd operation: subtraktion. Multiplikation har också en omvänd operation: division.

Men exponentiering har två omvända operationer: Rot och logaritm. Detta beror på att exponentiationen inte är kommutativ. Du kan se detta i det här exemplet:

Om du har x+2=3 kan du använda subtraktion för att ta reda på att x=3-2. Det är samma sak om du har 2+x=3: Du får också x=3-2. Detta beror på att x+2 är samma sak som 2+x.
Om du har x - 2=3 kan du använda division för att ta reda på att x= 3 2 {\textstyle {\frac {\frac {3}{2}}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Det är samma sak om du har 2 - x=3: Du får också x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Detta beror på att x - 2 är samma sak som 2 - x
Om du har x²=3 använder du (kvadrat)roten för att ta reda på x: du får resultatet att x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Om du däremot har 2^x =3 kan du inte använda roten för att ta reda på x. Du måste istället använda den binära logaritmen för att ta reda på x: du får resultatet att x=log₂ (3).

Relaterade sidor

Exponent
Exponentialfunktion
Exponering genom kvadrering
Tetration

Frågor och svar

F: Vad är exponentiering?

S: Exponentiering är en aritmetisk operation på tal som kan ses som upprepad multiplikation.

F: Hur skrivs exponentiering?

S: Exponering skrivs vanligtvis som x^y, där x är basen och y är exponenten. Den kan också skrivas med tecknen ^ eller **, till exempel 2^4 eller 2**4.

F: Vilka är några exempel på exponentiering?

S: Exempel på exponentiering är 5^3 = 5*5*5 = 125, x^2 = x*x, 1^x = 1 för varje tal x och 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

F: Vad betyder det när exponenten är lika med -1?

S: När exponenten är lika med -1 är potensen helt enkelt reciproken av basen (x^(-1) = 1/x).

F: Hur beräknar man en irrationell potens av en bas?

S: För att höja en bas a till en irrationell x:e potens använder vi en oändlig följd av rationella tal (xn), vars gräns är x (a^x = lim n->infinity a^(x_n)).

F: Finns det några regler som gör det lättare att beräkna exponenter?

S: Ja, det finns flera regler som gör det lättare att beräkna exponenter. Dessa inkluderar (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); och så vidare.