Principia Mathematica – Whitehead & Russell: Logikens och matematikens grundvalar
För Isaac Newtons bok som innehåller fysikens grundläggande lagar, se Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
Jag minns att Bertrand Russell berättade för mig om en hemsk dröm. Han befann sig på översta våningen i universitetsbiblioteket, omkring år 2100 e.Kr. En biblioteksassistent gick runt bland hyllorna med en enorm hink, tog ner böcker, tittade på dem, satte tillbaka dem på hyllorna eller dumpade dem i hinken. Till sist kom han fram till tre stora volymer som Russell kunde känna igen som det sista bevarade exemplaret av Principia Mathematica. Han tog ner en av volymerna, bläddrade i några sidor, verkade för ett ögonblick förbryllad av den märkliga symboliken, stängde volymen, balanserade den i handen och tvekade....
Hardy, G. H. (2004) [1940]. A Mathematician's Apology. Cambridge: University Press. s. 83. ISBN 978-0-521-42706-7.
Principia Mathematica är ett omfattande arbete i tre volymer om matematikens grunder av Alfred North Whitehead och Bertrand Russell. Det publicerades 1910, 1912 och 1913. År 1927 utkom det i en andra upplaga med en viktig Introduktion till den andra upplagan och olika anteckningar i slutet. Den är ofta känd som PM.
Boken var ett ambitiöst försök att formulera en komplett uppsättning axiom och slutledningsregler i symbolisk logik från vilka alla matematiska sanningar i princip skulle kunna härledas. Detta projekt ligger i linje med den filosofiska ståndpunkten som kallas logicism: att matematik i grunden är en gren av logik. Författarna trodde att ett sådant projekt var genomförbart och arbetade systematiskt för att reducera talteori, aritmetik och andra delar av matematiken till logiska principer.
Bakgrund och inspiration
En av de viktigaste inspirationskällorna var Gottlob Freges arbete med logik och analytisk filosofi. Russell och Whitehead vidareutvecklade och förändrade många av Freges idéer, bland annat genom att införa ett omfattande symboliskt språk och ett strikt formellt system som skulle göra härledningar precisa och kontrollerbara.
Mål och huvudinnehåll
PM hade två nära sammanlänkade mål:
- Att ge ett formellt system (axiom och slutledningsregler) för logiken som kunde användas för att härleda matematiska satser.
- Att visa, genom noggranna bevis, att centrala delar av matematiken faktiskt kunde härledas inom detta system.
Verket omfattar en mängd logiska definitioner, axiom och bevis. De första volymerna behandlar grundläggande logik och mängd- och relationsbegrepp; senare delar strävar efter att härleda aritmetik och delar av analys. Ett ofta citerat exempel på den rigorösa men långa framställningen är den slutliga härledningen av satsen att "1 + 1 = 2".
Tekniska drag: typteori och reduktionsaxiomet
För att undvika logiska paradoxer (som Russells egen paradox) införde författarna en komplex form av ramifierad typteori. Syftet var att förhindra självreferens genom att dela upp predikat och funktioner i olika nivåer eller typer. Typteorin kombinerades med olika definitioner och regler för kvantifiering. Ett kontroversiellt inslag var axiomen för reducerbarhet (Axiom of Reducibility), som hade till syfte att återställa vissa intuitiva egenskaper men som också kritiserats som filosofiskt otillfredsställande eftersom det inte helt följer av de övriga formella antagandena.
Mottagande, kritik och påverkan
PM fick stort inflytande inom logik, matematik och filosofisk analys. Den visade hur formella metoder kunde tillämpas brett och bidrog till utvecklingen av modern symbolisk logik. Samtidigt möttes verket av kritik:
- Det formella språket och den symboltäta presentationen uppfattades som svårbegripliga och opraktiska för många matematiker.
- Axiomet för reducerbarhet uppfattades av vissa som en svag punkt — det ansågs delvis ad hoc och förklarade inte fullständigt varför vissa uttryck skulle vara giltiga.
- Vissa filosofer och matematiker, bland dem förespråkare för Hilberts program, hade andra angreppssätt till matematikens grundvalar vilket ledde till debatt om metod och mål.
Gödels ofullständighet och konsekvenser
År 1931 bevisade dock Gödels ofullständighetssats att PM, och alla andra försök i samma anda, aldrig skulle kunna uppfylla det ursprungliga målet att vara fullständigt, konsekvent och tillräckligt för att härleda alla sanna aritmetiska satser. Gödels resultat visade att för alla rimliga formella system som är tillräckligt starka för att uttrycka aritmetik finns sanna påståenden som inte kan bevisas inom systemet, förutsatt att systemet är konsekvent. Detta förändrade perspektivet på både logikism och formella grundvalar avsevärt.
Historisk betydelse och arv
Trots sina begränsningar har Principia Mathematica haft ett bestående inflytande:
- Den hjälpte etablera symbolisk logik som ett centralt verktyg inom filosofi och matematik.
- Den inspirerade senare arbeten inom logik, teorin om beräknbarhet, samt tidiga idéer som ligger till grund för datavetenskapens formella språk.
- Inom filosofin bidrog den till utvecklingen av analytisk filosofi och diskussioner om språk, betydelse och formella metoder.
Utgåvor och eftermäle
Verket publicerades i tre volymer 1910–1913 och i en reviderad upplaga 1927 med tillägg och en introduktion. PM är fortfarande läst som ett historiskt mästerverk och som en källa till viktiga idéer, även om praktiska logiker och matematiker i dag använder förenklade eller alternativa formella system. Modern Library rankade den högt i sin lista över betydande fackböcker för 1900-talet.
Sammanfattning
Principia Mathematica är ett storslaget och inflytelserikt försök att formalisera matematiken och grundlägga den i logik. Arbetet visade både styrkan hos formella metoder och de djupa filosofiska och matematiska begränsningar som senare resultat, särskilt Gödels ofullständighetsteorem, klargjorde. Idag läses verket både som ett monument i logikens historia och som en påminnelse om de svårigheter som uppstår när man försöker reducera allt matematisk tänkande till ett enhetligt formellt system.
Modern Library placerade den på 23:e plats på en lista över de 100 bästa engelskspråkiga fackböckerna från 1900-talet.
Titelsidan till den förkortade versionen av Principia Mathematica till *56
Frågor och svar
F: Vad är titeln på Isaac Newtons bok?
S: Titeln på Isaac Newtons bok är Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
F: Vem skrev Principia Mathematica?
S: Principia Mathematica skrevs av Alfred North Whitehead och Bertrand Russell.
F: När publicerades Principia Mathematica?
S: Principia Mathematica publicerades 1910, 1912 och 1913.
F: Vad trodde författarna att de kunde göra med boken?
Svar: Författarna trodde att de kunde använda boken för att beskriva en uppsättning axiom, slutledningsregler och lagen om icke motsägelse i symbolisk logik utifrån vilka alla matematiska sanningar i princip skulle kunna bevisas.
F: Hur bevisade Gödels ofullständighetssats att detta mål var omöjligt?
S: Gödels ofullständighetssats visade att för varje uppsättning axiom och slutledningsregler som föreslås måste systemet antingen vara inkonsekvent eller så måste det faktiskt finnas några matematiska sanningar som inte kan härledas från dem. Därför visade det sig att detta ambitiösa projekt var omöjligt att nå.
F: Vem inspirerade och motiverade PM?
S: PM inspirerades och motiverades av Gottlob Freges tidigare arbete om logik.
F: På vilket sätt skiljer sig PM från Russells Principles of Mathematics från 1903?
Svar: PM skiljer sig från Russells Principles of Mathematics från 1903 eftersom det i PM står: "The present work was originally intended by us to be ... a second volume of Principles of Mathematics ...". Men allteftersom vi avancerade blev det alltmer uppenbart att ämnet är mycket större än vad vi hade antagit...".
