Likformighet i geometri — definition, egenskaper och exempel

Utforska likformighet i geometri: definition, egenskaper och tydliga exempel — varför trianglar är speciella, proportionalitet, vinklar och skillnad mot kongruens.

Likformighet är ett grundläggande begrepp inom geometrin. Det betyder att två polygoner, linjesegment eller andra figurer har samma form men inte nödvändigtvis samma storlek — den ena kan erhållas från den andra genom en likformig skalning (och eventuellt rotation eller spegling). Likformiga objekt behöver alltså inte ha samma mått. Två figurer är likartade om deras vinklar har samma mått och längderna på motsvarande sidor är proportionella. Två cirklar, kvadrater eller linjesegment är alltid lika.

Om figur F {\displaystyle F} liknar figur F ′ {\displaystyle F'} skriver vi F ∼ F ′ {\displaystyle F\sim F'} .

Egenskaper hos likformighet

• Korresponderande vinklar är lika.
• Korresponderande sidor är proportionella — det finns en konstant skalfaktor k (likhetsfaktor) så att varje längd i den ena figuren är k gånger motsvarande längd i den andra.
• Alla avstånd och linjestycken skalar med samma faktor k; areor skalar med k².
• En sammansättning av likformiga avbildningar (skalning, rotation, translation, eventuell spegling) är åter en likformig avbildning.
• Om k = 1 blir likformighet en kongruens (samma storlek och form). Se även kongruens.

Kriterier för likformighet av trianglar

Trianglar är särskilt viktiga eftersom det räcker med begränsad information för att avgöra likformighet. Följande kriterier gäller:

• AA (vinkel–vinkel): Om två vinklar i en triangel är lika med två vinklar i en annan triangel så är trianglarna likformiga. (Den tredje vinkeln blir då också lika.)
• SAS (sida–vinkel–sida): Om två sidor i en triangel är proportionella mot två sidor i en annan triangel och den mellanliggande vinkeln är lika, så är trianglarna likformiga.
• SSS (sida–sida–sida): Om alla tre sidor i en triangel är proportionella mot motsvarande tre sidor i en annan triangel, så är trianglarna likformiga.

Dessa kriterier är praktiska vid konstruktion och bevisföring. En enkel intuitiv förklaring till AA är att vinklar bestämmer formen; om två vinklar är lika då bestäms formen upp till en skalning.

Allmänna polygoner

För polygoner med fler än tre sidor räcker det inte att bara kontrollera vinklar eller bara sidor — båda villkoren (vinklar lika och sidor proportionella parvis) måste vara uppfyllda för att polygonerna ska vara likformiga. I praktiken används ofta triangulering (dela upp polygoner i trianglar) för att testa likformighet.

Skalfaktor och likformiga avbildningar

• Likhetsfaktorn k visar hur mycket figuren skalas: längder i den ena figuren = k × motsvarande längder i den andra.
• Om k > 0 bevaras formen; om k är negativ motsvarar det dessutom en spegling (orienteringen ändras).
• Area- och volymeffekter: area skalar som k², volym (i rummet) som k³.
• I koordinatgeometri representeras en likformig avbildning ofta som en dilation (skalning kring en punkt) följd av rotation och translation.

Exempel

• Trianglar med sidor 3, 4, 5 och 6, 8, 10 är likformiga med skalfaktor k = 2 eftersom motsvarande sidor är proportionella. Deras vinklar är därför lika.
• Alla cirklar är likformiga: en cirkel med radie r och en annan med radie R har skalfaktor k = R/r.
• Alla kvadrater är likformiga eftersom alla vinklar är 90° och sidorna är proportionella (skalfaktor = förhållandet mellan sidlängder).

Användningar

Likformighet används i många sammanhang: kartprojektioner och skalmodeller (arkitektur, modellbygge), mätningar med likformiga trianglar (t.ex. mätning av höjder) och i bevis inom matematiken. Kunskap om hur längder och areor ändras med skalfaktorn är viktig i ingenjörs- och naturvetenskapliga tillämpningar.

Skillnaden mellan likformighet och kongruens

Kongruenta former har samma sidlängder och vinklar och kan överlappa genom bara rotation, spegling eller translation. Alla kongruenta figurer är alltså likformiga med k = 1, men likformiga figurer är inte nödvändigtvis kongruenta eftersom de kan ha olika storlek.

Sammanfattningsvis: likformighet handlar om samma form och proportioner, medan kongruens handlar om både samma form och samma storlek.

Frågor och svar

F: Vad är likhet?

F: Hur vet man om två figurer är lika varandra?

Fråga: Är alla polygoner lika varandra?

F: Hur förhåller sig likhet till kongruens?

Fråga: Är cirklar alltid lika?

Sök med bokstav