Centrala gränsvärdessatsen | Satser om gränsbeteenden hos aggregerade sannolikhetsfördelningar

Inom sannolikhetsteori och statistik är de centrala gränssatserna, förkortat CLT, teorem om gränsbeteendena för aggregerade sannolikhetsfördelningar. De säger att givet ett stort antal oberoende slumpvariabler kommer deras summa att följa en stabil fördelning. Om variansen hos slumpvariablerna är ändlig kommer en gaussisk fördelning att uppstå. Detta är en av anledningarna till att denna fördelning också kallas normalfördelning.

Den mest kända och viktigaste av dessa är den s.k. centrala gränssatsen. Den handlar om ett stort antal slumpmässiga variabler med samma fördelning, var och en med en identisk ändlig varians och förväntat värde.

Om X 1 , ... , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} $X_{1},\ldots ,X_{n}$ är n identiska och oberoende distribuerade slumpvariabler med medelvärde μ {\displaystyle \mu } $\mu$ och standardavvikelse σ {\displaystyle \sigma } $\sigma$ så är fördelningen av deras medelvärde, ( X 1 + ⋯ $(X_{1}+\cdots +X_{n})/n$ när n blir stor, är ungefär normal med medelvärdet μ {\displaystyle \mu } $\mu$ och standardavvikelsen σ n {\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}} ${\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}$ . Dessutom är fördelningen av deras summa, X 1 + ⋯ $X_{1}+\cdots +X_{n}$ , när n blir stor, är också ungefär normal, med medelvärde n μ {\displaystyle n\mu } $n\mu$ och standardavvikelse n σ {\displaystyle {\sqrt {n}}\sigma } ${\sqrt {n}}\sigma$ .

Det finns olika generaliseringar av denna sats. Vissa av dessa generaliseringar kräver inte längre att alla slumpvariabler har samma fördelning. I dessa generaliseringar säkerställer en annan förutsättning att ingen enskild slumpvariabel har ett större inflytande på resultatet än de andra. Exempel på detta är Lindeberg- och Lyapunovvillkoren.

Satsens namn är baserat på en artikel som George Pólya skrev 1920, About the Central Limit Theorem in Probability Theory and the Moment problem.

Relaterade sidor

Standardfel

Frågor och svar

Fråga: Vad är den centrala gränssatsen?

S: Den centrala gränssatsen (CLT) är en sats om gränsbeteenden hos aggregerade sannolikhetsfördelningar. Den säger att givet ett stort antal oberoende slumpvariabler kommer deras summa att följa en stabil fördelning. Om variansen hos slumpvariablerna är ändlig kommer en gaussisk fördelning att uppstå.

Fråga: Vem skrev den artikel som denna sats bygger på?

Svar: George Pَlya skrev 1920 artikeln "About the Central Limit Theorem in Probability Theory and the Moment Problem", som låg till grund för denna sats.

F: Vilken typ av fördelning uppstår när alla slumpvariabler har ändlig varians?

Svar: När alla slumpvariabler har ändlig varians kommer en gaussisk eller normalfördelning att bli resultatet om man tillämpar CLT.

F: Finns det några generaliseringar av CLT?

S: Ja, det finns olika generaliseringar av CLT som inte längre kräver en identisk fördelning av alla slumpvariabler. Dessa generaliseringar omfattar Lindeberg- och Lyapunovvillkor som säkerställer att ingen enskild slumpvariabel har större inflytande än andra på resultatet.

F: Hur fungerar dessa generaliseringar?

S: Dessa generaliseringar säkerställer att ingen enskild slumpvariabel har större inflytande än andra på utfallet genom att införa ytterligare förutsättningar, t.ex. Lindeberg- och Lyapunovvillkor.

F: Vad säger CLT om sampelsnittet och summan av ett stort antal oberoende slumpvariabler med samma fördelning?

S: Enligt CLT gäller att om n identiska och oberoende fördelade slumpvariabler med medelvärde ى {\displaystyle \mu } och standardavvikelse َ {\displaystyle \sigma } så kommer deras urvalsmedelvärde (X1+...+Xn)/n att vara ungefärligt normalt med medelvärde ى {\displaystyle \mu } och standardavvikelse َ/√n {\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}} . Dessutom kommer deras summa X1+...+Xn också att vara ungefärligt normal med medelvärde nى {\displaystyle n\mu } och standardavvikelse √nَ {\displaystyle {\sqrt {n}}\sigma } .