Divisor (talteori): definition, egenskaper och tillämpningar
Genomgång av vad en divisor är i talteori: definition, exempel, primfaktoruppdelning, antal och summa av divisorer, tillämpningar och kort om generaliseringar.
För den andra operanden i en division, se division (matematik). Inom matematiken är en divisor (även kallad faktor) av ett heltal n ett heltal som delar n utan rest. Med andra ord är d en divisor av n precis när n = d · q för något heltal q; motsatsen uppstår när en rest blir kvar. Alla heltal är delbara med 1 och med sig själva; tal som saknar andra positiva divisorer kallas primtal.
Bildgalleri
1 Bild
Grundläggande begrepp och exempel
Divisorer kan vara positiva eller negativa, men i talteori fokuserar man ofta på positiva divisorer. En "egentlig" eller "proper" divisor är en divisor som inte är lika med talet självt. Exempel: positiva divisorer till 12 är 1, 2, 3, 4, 6, 12; de egentliga är 1, 2, 3, 4, 6.
Egenskaper och beräkning
Många viktiga egenskaper följer ur primfaktoruppdelningen. Om n skrivs som produkt av primtal n = p1^a1 · p2^a2 · ... · pk^ak så kan man räkna antal och summa av positiva divisorer exakt. Antalet positiva divisorer ges av (a1+1)(a2+1)...(ak+1), och summan av alla positiva divisorer kan uttryckas som en produkt av geometriska summor. Primfaktoruppdelning är därför ett centralt verktyg när man vill lista eller räkna divisorer.
- Tillämpning av unik faktorisering: alla divisorer konstrueras från primfaktorerna.
- Stora aritmetiska funktioner knutna till divisorer är t.ex. d(n) (antalet divisorer) och σ(n) (summan av divisorer).
- Största gemensamma delaren (gcd) och minst gemensamma multipeln (lcm) relaterar direkt till divisorer.
Faktorisering och algoritmer
Att hitta primfaktorerna till ett tal — faktorisering — är vägen till att bestämma dess divisorer. Enkla metoder som trial division räcker för små tal, medan avancerade algoritmer krävs för mycket stora tal. Svårigheten att faktorisera stora tal är också grunden för vissa krypteringssystem, där kännedom om divisorer spelar avgörande roll.
Användning, generaliseringar och anmärkningar
Divisorer används i många områden: förenkling av bråk, analys av talets struktur, kombinatorik och kryptografi. Begreppet generaliseras i abstrakt algebra: i en ring kan ett element ha "divisorer" och det finns även "nolldivisorer" i vissa strukturer, vilket skiljer sig från heltalsfallet. För vidare läsning om närliggande termer och metoder, se särskilda artiklar om division, matematisk talteori och faktorisering samt diskussioner om primtal och restbegreppet.
Förklaring
Till exempel är 7 en divisor av 42 eftersom 42÷7 = 6. Vi säger också att 42 är delbart med 7 eller att 42 är en multipel av 7 eller att 7 dividerar 42 eller att 7 är en faktor av 42 och vi brukar skriva 7 | 42. Till exempel är de positiva delarna av 42 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
I allmänhet säger vi m÷n för heltal m och n som inte är noll om det finns ett heltal k så att n = km. Divisorer kan alltså vara både negativa och positiva, även om vi ofta begränsar oss till positiva divisorer. (Det finns till exempel sex divisorer av fyra, 1, 2, 4, -1, -2, -4, men man brukar bara nämna de positiva, 1, 2 och 4.)
1 och -1 dividerar (är divisorer av) varje heltal, varje heltal är en divisor av sig självt och varje heltal är en divisor av 0, förutom 0 självt (se även division genom noll). Tal som är delbara med 2 kallas jämna och tal som inte är delbara med 2 kallas udda.
En divisor av n som inte är 1, -1, n eller -n kallas en icke-trivial divisor; tal med icke-triviala divisorer kallas sammansatta tal, medan primtal inte har några icke-triviala divisorer.
Namnet kommer från den aritmetiska operationen division: om a÷b = c är a utdelningen, b divisorn och c kvoten.
Upptäckt av divisorer
Det finns egenskaper som gör att man kan känna igen vissa divisorer av ett tal från talets siffror. Dessa egenskaper kan användas som "matematiska knep" för att snabbt upptäcka vissa divisorer i ett tal.
Om till exempel den sista siffran är jämn (0, 2, 4, 6 eller 8) är 2 en divisor. Om den sista siffran är 0 eller 5 är 5 en divisor. Om siffrorna summerar till en multipel av 3 är 3 en divisor. För talet 340, som slutar på 0, är både 2 och 5 divisorer, och 2×5 = 10 är också en divisor. Dividerar man med 10 blir 340/10 = 34, och slutligen 2×17. Genom att kombinera alla de mindre talen blir de 12 divisorerna av 340 följande:
- Divisorer av 340: 1, 2, 4, 5, 10, 17, 20, 34, 68, 85, 170, 340.
Observera att varje tal alltid är jämnt delbart med 1 och sig självt.
Frågor och svar
F: Vad är en divisor inom matematiken?
S: En divisor till ett heltal n, även känd som en faktor till n, är ett heltal som delar n utan att lämna en rest.
F: Hur skrivs påståendet "m är en divisor av n"?
S: Påståendet "m är en divisor av n" kan skrivas som m|n, där "|" betyder "dividerar".
F: Vilka tal är alltid delbara med ett tal?
S: Alla tal är alltid delbara med 1 och sig själv, som är två av divisorerna.
F: Vad är ett primtal?
S: Ett primtal är ett tal som inte har några andra divisorer.
Fråga: Vilka är de rätta divisorerna till ett tal n?
S: De korrekta divisorerna till ett tal n, förutom n självt, är de positiva divisorerna till n.
F: Vad är faktorisering?
S: Att hitta en eller flera faktorer till ett givet tal kallas faktorisering.
F: Vad är skillnaden mellan en divisor och en faktor?
S: Det är ingen skillnad mellan en divisor och en faktor. De är två termer som används omväxlande för att hänvisa till ett heltal som delar ett annat heltal utan att lämna en rest.
Relaterade artiklar
Författare
AlegsaOnline.com Divisor (talteori): definition, egenskaper och tillämpningar Leandro Alegsa
URL: https://sv.alegsaonline.com/art/27997