Division med noll

Inom matematiken kan ett tal inte delas med noll. Observera:

1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C} $A*B=C$

Om B = 0, så är C = 0. Detta är sant. Men:

2. A = C / B {\displaystyle A=C/B} $A=C/B$

(där B=0, så vi dividerar bara med noll)

Vilket är detsamma som:

3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} $A=0/0$

Problemet är att A {\displaystyle A} $A$ kan vara vilket nummer som helst. Det skulle fungera om A {\displaystyle A} $A$ var 1 eller om det var 1 000 000 000 000. 0/0 sägs vara av "obestämd form" av denna anledning, eftersom det inte har något enskilt värde. Tal av formen A/0, å andra sidan, där A {\displaystyle A} $A$ inte är 0, sägs vara "odefinierade" eller "obestämda". Detta beror på att varje försök att definiera dem kommer att resultera i ett värde oändligt, vilket i sig självt är odefinierat. Vanligtvis när två tal är lika med samma sak är de lika med varandra. Detta är inte sant när det som de båda är lika med är 0/0. Detta innebär att matematikens normala regler inte fungerar när talet divideras med noll.

Felaktiga bevis som bygger på division med noll

Det är möjligt att dölja ett specialfall av division med noll i ett algebraiskt resonemang. Detta kan leda till ogiltiga bevis, till exempel 1=2, som i följande exempel:

Med följande antaganden:

0 × 1 = 0 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

Följande måste vara sant:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,} $0\times 1=0\times 2.\,$

Genom att dividera med noll får man:

0 0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}}\times 1={\frac {0}{0}}}\times 2.} $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Förenkla:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Felsteget är antagandet att dividera med 0 är en legitim operation med 0/0 = 1.

De flesta människor skulle förmodligen inse att ovanstående "bevis" är felaktigt, men samma argument kan presenteras på ett sätt som gör det svårare att upptäcka felet. Om till exempel 1 skrivs som x kan 0 döljas bakom x-x och 2 bakom x+x. Det ovan nämnda beviset kan då visas på följande sätt:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

därför:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Genom att dividera med x - x får man:

x = x + x {\displaystyle x=x+x\,} $x=x+x\,$

och dividerar med x ger:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

"Beviset" ovan är felaktigt eftersom det dividerar med noll när det dividerar med x-x, eftersom alla tal minus sig själva är noll.

Kalkyl

I kalkyl kan de ovan nämnda "obestämda formerna" också uppstå som ett resultat av direkt substitution vid utvärdering av gränsvärden.

Division med noll i datorer

Om ett datorprogram försöker dividera ett heltal med noll upptäcker operativsystemet vanligtvis detta och stoppar programmet. Vanligtvis skriver det ut ett "felmeddelande" eller ger programmeraren råd om hur han eller hon kan förbättra programmet^[]. Division genom noll är ett vanligt fel i datorprogrammering. Att dividera flyttalstal (decimaltal) med noll resulterar vanligtvis i antingen oändlighet eller ett speciellt NaN-värde (not a number), beroende på vad som divideras med noll.

Division med noll i geometri

I geometri 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}}=\infty . } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ Denna oändlighet (projektiv oändlighet) är varken ett positivt eller negativt tal, på samma sätt som noll varken är ett positivt eller negativt tal.

Frågor och svar

Fråga: Vad är resultatet av att dividera ett tal med noll?

S: Om man delar ett tal med noll får man en "odefinierad" eller "obestämd form", vilket innebär att det inte har något enskilt värde.

F: Vad betyder 0/0?

S: 0/0 sägs vara av "obestämd form" eftersom det inte har något enskilt värde.

F: Vad händer när två tal är lika med samma sak, men denna sak är 0/0?

S: Matematikens normala regler fungerar inte när talet divideras med noll, så de två talen skulle inte vara lika med varandra.

F: Är det sant att varje försök att definiera ett tal av formen A/0 kommer att resultera i ett oändligt värde?

Svar: Ja, varje försök att definiera ett tal av formen A/0 (där A inte är 0) kommer att resultera i värdet oändlighet, som i sig självt är odefinierat.

F: Hur kan vi avgöra om två tal är lika stora som varandra?

S: Vi kan avgöra om två tal är lika med varandra genom att se om de båda är lika med samma sak. Vanligtvis fungerar detta, men det gäller inte när båda talen är lika med 0/0.

F: Finns det något undantag för när vi inte kan dividera ett tal med noll? S: Ja, i matematik är det inte möjligt att dividera ett tal med noll.