Storhet (matematik) – definition, typer och exempel

Utforska matematisk storhet: definition, typer (längd, area, volym, vinklar, bråk) och tydliga exempel för snabb förståelse och praktisk tillämpning.

Författare: Leandro Alegsa

14-12-2025 16:37

Storleken på ett matematiskt objekt är dess storlek: en egenskap som gör att det kan vara större eller mindre än andra objekt av samma slag.

På ett matematiskt språk skulle man säga: Det är en ordning av den klass av objekt som det tillhör.

De gamla grekerna skilde mellan flera olika typer av storheter, bland annat:

(positiva) fraktioner
linjesegment (ordnade efter längd)
Planfigurer (ordnade efter område)
Fasta ämnen (ordnade efter volym)
Vinklar (ordnade efter vinkelstorlek)

De hade bevisat att de två första inte kunde vara samma, eller ens isomorfa storhetssystem. De ansåg inte att negativa storheter var meningsfulla, och storhet används fortfarande främst i sammanhang där noll antingen är den minsta storleken eller mindre än alla möjliga storlekar.

Definition och grundidé

Begreppet storhet (ibland översatt som "magnitude" eller "quantity") handlar om hur man kan jämföra, mäta och ordna objekt inom en viss klass. En storhet ger en metod för att säga att ett objekt är "större än", "mindre än" eller "lika med" ett annat objekt av samma typ. I praktiken representeras ofta storheter med tal (t.ex. reella tal) tillsammans med en enhet (t.ex. meter, kvadratmeter, liter).

Historisk bakgrund

Redan de antika grekerna studerade olika slag av storheter och insåg att inte alla storheter kan jämföras med samma mått. Eudoxos och Euklides utvecklade en teori om proportioner (se Euklides bok V) som kunde hantera både rationella kvoter och förhållanden mellan incommensurabla (icke-mätbara med ett gemensamt enhetligt segment) mängder. Slutsatsen att t.ex. längd och area inte är samma typ av storhet är en tidig form av att krav på typ för jämförelse måste uppfyllas.

Typer av storheter

Linjär storhet: längd eller avstånd (linjesegment ordnade efter längd).
Ytstorhet: område (t.ex. kvadratmeter, ordnade efter område).
Rymdstorhet: volym (t.ex. liter eller kubikmeter, som i listan ovan med volym).
Vinkelstorhet: vinklar (ordnade efter vinkelstorlek, se Vinklar).
Skalära storheter: temperatur, massa, tid, elektrisk laddning — ofta representerade av reella tal tillsammans med enhet.
Vektorstorheter: t.ex. förflyttning eller hastighet, där riktning också spelar roll; storleken av en sådan är ofta ett icke-negativt tal (normen).
Kardinalitet: i mängdlära används "storlek" om antalet element i en mängd; detta är en annan, mer abstrakt typ av storhet (räknestorlek snarare än geometrisk storlek).

Moderna tolkningar och formella strukturer

Formellt kan en klass av storheter ofta modelleras som ett ordnat rum eller en algebraisk struktur med en ordning (t.ex. ett ordnat abelsk grupp eller ett ordnat fält). Exempel:

Reella tal med den vanliga ordningen används för många kontinuerliga storheter.
Normer i vektorrum ger en allmän definition av "storleken" (normen) hos en vektor; avstånd i ett metriskt rum definieras utifrån norm eller avståndsfunktion.
Mätteori (t.ex. Lebesgue-mått) ger en rigorös tolkning av storlek för mångbottnade mängder i rummet (yta, volym, längd av kurvor mm.).
Kardinalitetsteori ger verktyg att jämföra storleken på oändliga mängder (räknebart/oreälbart etc.).

Negativa storheter och noll

Historiskt var storheter ofta begränsade till icke-negativa värden (längd, area, volym kan inte vara negativa). Med införandet av negativa tal och riktning blev det möjligt att hantera signed storheter som förskjutning eller temperaturavvikelse. Ändå kvarstår behovet att skilja mellan "storleken" (ett icke-negativt mått, t.ex. absolutvärde eller norm) och tecken/riktning hos en kvantitet.

Praktiska exempel och hur man jämför

Längd: två linjesegment kan jämföras genom att mäta dem i samma enhet; man kan addera eller subtrahera segment bara om de ligger i samma dimension (längd jämförs inte direkt med area).
Area: en rektangels area är längd gånger bredd (m²). Områden adderas och jämförs med samma enheter.
Volym: t.ex. volymen av en kub är sidan³; volymer jämförs i kubikenheter.
Vinkel: vinklar läggs ihop och jämförs i grader eller radianer; vinkelstorlek är icke-negativ inom [0, 2π) i många sammanhang.
Kardinalitet: mängden av naturaltal och mängden av heltal har samma kardinalitet (räknebart), medan mängden av reella tal har strikt större kardinalitet (icke-räknebar).

Viktiga begrepp att hålla isär

Typ: Du kan bara jämföra storlekar mellan objekt av samma typ (t.ex. längd med längd, inte längd med area).
Enhet: Numeriska värden beror på enhet; jämförelse kräver samma enhet.
Riktning vs. storlek: En vektor har både riktning och längd; ofta talar man om vektorns storlek (= dess norm).
Abstrakta storheter: I matematik kan »storlek« avse både geometriska mått, mängdstorlek (kardinalitet) och mer abstrakta mått såsom mått i sannolikhetsteori.

Sammanfattning

Begreppet storhet i matematik är mångfacetterat: det handlar om hur man ordnar, mäter och jämför objekt inom en viss klass. Det finns en lång historisk utveckling från de grekiska proportionsteorierna till modern mät- och mängdteori. För att arbeta korrekt med storheter måste man vara tydlig med typ, enhet och om man avser en riktad (signed) eller icke-riktad (icke-negativ) mängd.

Reella tal

Storleken på ett reellt tal x {\displaystyle x} kallas vanligen absolut värde eller modulus. Det skrivs som | x | {\displaystyle |x|} $|x|$ och definieras genom:

| x | = x, om x ≥ 0

| x | = -x, om x < 0

Detta ger talets avstånd från noll på den reella tallinjen. Till exempel är modulus för -5 5.

Vektor

Storleken på en vektor v {\displaystyle \mathbf {v} } $\mathbf {v}$ kallas dess norm och skrivs vanligtvis som ‖ v ‖ ‖ {\displaystyle \|\mathbf {v} \|} $\|\mathbf {v} \|$ . Den mäter längden på vektorn. För en tredimensionell vektor v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},v_{3})} $\mathbf {v} =(v_{1},v_{2},v_{3})$ kan normen beräknas med formeln ‖ v ‖ = v 1 2 + v 2 2 2 + v 3 2 {\displaystyle \|\mathbf {v} \|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}} $\|\mathbf {v} \|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}$ .

Praktisk matematik

En magnitud är aldrig negativ. När man jämför storheter är det ofta bra att använda en logaritmisk skala. Exempel från den verkliga världen är ljudets styrka (decibel), en stjärnas ljusstyrka eller Richterskalan för jordbävningars intensitet.

Eftersom storheter ofta inte är linjära kan de vanligtvis inte adderas eller subtraheras på ett meningsfullt sätt.

Relaterade sidor

Storleksordning

Frågor och svar

F: Vad är definitionen av magnitud?

S: Magnitud är en egenskap genom vilken ett föremål kan vara större eller mindre än andra föremål av samma slag. Det är en ordning av den klass av objekt som det tillhör.

F: Vilka typer av storheter skiljde de gamla grekerna mellan?

S: De gamla grekerna gjorde skillnad mellan positiva bråk, linjesträckor (ordnade efter längd), plana figurer (ordnade efter area), fasta kroppar (ordnade efter volym) och vinklar (ordnade efter vinkelstorlek).

F: Ansåg de att negativa storheter var meningsfulla?

S: Nej, de ansåg inte att negativa storheter var meningsfulla.

F: Hur använder vi fortfarande i första hand storheter i dag?

S: Vi använder fortfarande främst storheter i sammanhang där noll antingen är den minsta storleken eller mindre än alla möjliga storlekar.

F: Bevisade de gamla grekerna att två typer av storheter inte kan vara lika stora?

S: Ja, de hade bevisat att två typer av storheter inte kan vara lika, eller till och med isomorfa system av storheter.

F: Vad tog de inte hänsyn till när de diskuterade olika typer av storheter?

S: De ansåg inte att negativa storheter var meningsfulla när de diskuterade olika typer av storheter.

Fråga: På vilket sätt ordnade de gamla grekerna sina olika typer av storheter?

S: De gamla grekerna ordnade sina olika typer av storheter, t.ex. bråk, linjesträckningar, plana figurer, solider och vinklar, efter storlek - till exempel ordnades linjesträckningar efter längd och plana figurer efter area.

Sök