Newtons metod | ett sätt att hitta de verkliga nollorna av en funktion
Newtons metod är ett sätt att hitta en funktions verkliga nollor. Denna algoritm kallas ibland Newton-Raphson-metoden, uppkallad efter Sir Isaac Newton och Joseph Raphson.
Metoden använder funktionens derivata för att hitta dess rötter. Ett inledande "gissningsvärde" för nollans placering måste göras. Utifrån detta värde beräknas en ny gissning med hjälp av denna formel:
Här är xn den första gissningen och xn+1 nästa gissning. Funktionen f (vars nollpunkt löses) har derivatan f'.
Genom att upprepade gånger tillämpa denna formel på de genererade gissningarna (dvs. genom att sätta värdet på xn till formelns utgångsvärde och räkna om) kommer värdet på gissningarna att närma sig funktionens nollpunkt.
Newtons metod kan förklaras grafiskt genom att titta på tangentlinjernas skärningspunkter med x-axeln. Först beräknas en linje som tangerar f vid xn . Därefter hittas skärningspunkten mellan denna tangentlinje och x-axeln. Slutligen registreras x-positionen för denna skärningspunkt som nästa gissning, x .n+1
Funktionen (blå) används för att beräkna lutningen på en tangentlinje (röd) vid xn .
Problem med Newtons metod
Newtons metod kan hitta en lösning snabbt om gissningsvärdet börjar tillräckligt nära den önskade roten. När det inledande gissningsvärdet inte ligger nära, och beroende på funktionen, kan Newtons metod dock hitta svaret långsamt eller inte alls.
Relaterade sidor
- Kantorovitj-satsen (Uttalande om konvergensen av Newtons metod, upptäckt av Leonid Kantorovitj)
Frågor och svar
Fråga: Vad är Newtons metod?
S: Newtons metod är en algoritm för att hitta de verkliga nollorna i en funktion. Den använder funktionens derivata för att beräkna dess rötter och kräver ett inledande gissningsvärde för nollans placering.
F: Vem utvecklade denna metod?
S: Metoden utvecklades av Sir Isaac Newton och Joseph Raphson, och kallas därför ibland Newton-Raphson-metoden.
F: Hur fungerar denna algoritm?
S: Algoritmen fungerar genom att man upprepade gånger tillämpar en formel som tar in ett ursprungligt gissningsvärde (xn) och beräknar en ny gissning (xn+1). Genom att upprepa denna process kommer gissningarna att närma sig funktionens nollpunkt.
F: Vad krävs för att använda denna algoritm?
S: För att använda denna algoritm måste du ha ett inledande "gissningsvärde" för nollans placering samt kunskap om derivatan för din givna funktion.
F: Hur kan vi förklara Newtons metod grafiskt?
S: Vi kan förklara Newtons metod grafiskt genom att titta på skärningspunkterna mellan tangentlinjerna och x-axeln. Först beräknas en linje som tangerar f vid xn. Därefter hittar vi skärningspunkten mellan denna tangentlinje och x-axeln och noterar dess x-position som vår nästa gissning - xn+1.
F: Finns det någon begränsning när man använder Newtons metod?
S: Ja, om ditt ursprungliga gissningsvärde ligger för långt ifrån den faktiska roten kan det ta längre tid eller till och med misslyckas med att konvergera mot roten på grund av svängningar runt den eller divergens bort från den.
