Inom sannolikhet och statistik är en sannolikhetstäthetsfunktion en funktion som karakteriserar en kontinuerlig sannolikhetsfördelning. För en slumpmässig variabel X skrivs sannolikhetstäthetsfunktionen för X ibland som {\displaystyle f_{X}(x)} . Integralen av sannolikhetstäthetsfunktionen i intervallet {\displaystyle [a,b]} ger sannolikheten för att en given slumpvariabel med den givna tätheten ingår i det angivna intervallet. Per definition är sannolikhetsdensitetsfunktionen icke-negativ i hela sitt område, där integralen summerar till 1.

Formellt krav och grundläggande egenskaper

  • Icke-negativitet: f_X(x) ≥ 0 för alla x.
  • Normalisering: ∫_{-∞}^{∞} f_X(x) dx = 1.
  • Sannolikhet för intervall: För a ≤ b gäller P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f_X(x) dx.
  • P(något exakt värde): För en kontinuerlig variabel är P(X = x) = 0 för varje enskilt x (eftersom integralen över en punkt är noll).
  • Support: Mängden där f_X(x) > 0 kallas för variabelns support.
  • PDF kan vara större än 1: Värdet f_X(x) kan överskrida 1 på vissa intervall; det är integralens värde över ett intervall som representerar sannolikhet, inte funktionen i en punkt.

Relation till fördelningsfunktion (CDF)

Den kumulativa fördelningsfunktionen (CDF) definieras som F_X(x) = P(X ≤ x). För en kontinuerlig variabel är sambandet mellan PDF och CDF

F_X(x) = ∫_{-∞}^{x} f_X(t) dt.

Om f_X är kontinuerlig gäller f_X(x) = dF_X(x)/dx, det vill säga PDF är derivatan av CDF.

Förväntningsvärde, varians och moment

Momenter beräknas med hjälp av PDF:

  • Förväntningsvärde (medelvärde): E[X] = ∫_{-∞}^{∞} x f_X(x) dx, förutsatt att integralen konvergerar.
  • Varians: Var(X) = E[(X − μ)^2] = ∫_{-∞}^{∞} (x − μ)^2 f_X(x) dx där μ = E[X].
  • Allmän moment: E[X^k] = ∫ x^k f_X(x) dx.

Vanliga exempel på PDF:er

  • Uniformfördelning på [a, b]: f(x) = 1/(b−a) för a ≤ x ≤ b, annars 0. Exempel: för [0,1] är f(x)=1 och P(0.2≤X≤0.5)=0.3.
  • Exponentialfördelning (λ > 0): f(x) = λ e^{−λ x} för x ≥ 0, annars 0. Används ofta för modellering av väntetider.
  • Normalfördelning N(μ, σ^2): f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(−(x−μ)^2/(2σ^2)). Normalfördelningen är central i statistik och sannolikhetsteori.

Transformationer och förändring av variabel

Om Y = g(X) där g är en monotont växande eller avtagande funktion, kan PDF för Y hittas genom förändring av variabel:

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) · |d/dy g^{-1}(y)|.

Ett enkelt fall: om Y = aX + b (a ≠ 0) blir f_Y(y) = (1/|a|) f_X((y − b)/a).

Flerdimensionella fall: täthet för vektorer

För slumpvariabler (X, Y) definieras en gemensam täthetsfunktion f_{X,Y}(x,y) så att P((X,Y) ∈ A) = ∬_A f_{X,Y}(x,y) dx dy. Marginaltätheter erhålls genom integration, t.ex.

f_X(x) = ∫_{-∞}^{∞} f_{X,Y}(x,y) dy.

Oberoende variabler uppfyller f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y).

Användningsområden

  • Beräkna sannolikheter för intervall och händelser.
  • Bestämma väntevärden och spridning (varians, standardavvikelse).
  • Modellering av mätfel, naturliga fenomen och köteori.
  • I statistisk inferens ingår PDF i sannolikhetsfunktionen (likelihood) vid parameterestimation.

Skillnad mellan PDF och PMF

För diskreta slumpvariabler används en sannolikhetsmassfunktion (PMF) p_X(k) = P(X = k). För kontinuerliga variabler gäller istället PDF f_X(x) och sannolikheten ges av integraler över intervall; därför är P(X = x) = 0 i den kontinuerliga modellen.

Sammanfattning

Sannolikhetstäthetsfunktionen (PDF) beskriver hur sannolikheten fördelas över värden för en kontinuerlig slumpvariabel. De centrala kraven är icke-negativitet och att tätheten integrerar till 1. Genom att integrera PDF över ett intervall får man sannolikheten för att variabeln ligger i det intervallet, och PDF används också för att beräkna väntevärden, varians och andra momenter samt för att hantera transformationer och flerdimensionella fördelningar.