Schwarzschild-metrisk
Schwarzschilds metrik beräknades av Karl Schwarzschild som en lösning på Einsteins fältekvationer 1916. Den är också känd som Schwarzschilds lösning och är en ekvation från den allmänna relativitetsteorin inom astrofysiken. En metrik avser en ekvation som beskriver rumtiden; i synnerhet beskriver en Schwarzschild-metrik gravitationsfältet runt ett svart hål av Schwarzschild-typ - ett icke-roterande, sfäriskt svart hål utan magnetfält och där den kosmologiska konstanten är noll.
Det är i huvudsak en ekvation som beskriver hur en partikel rör sig i rummet nära ett svart hål.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
Avledning
Även om ett mer komplicerat sätt att beräkna Schwarzschilds metrik kan hittas genom att använda Christoffel-symboler, kan den också härledas genom att använda ekvationerna för flykthastighet ( v e {\displaystyle v_{e}}}
), tidsutvidgning (dt') och längdkontraktion (dr'):
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} 
(1)
v är partikelns hastighet
G är gravitationskonstanten
M är det svarta hålets massa
r är hur nära partikeln är det tunga föremålet.
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} 
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} 
(3)
dt' är partikelns verkliga tidsförändring
dt är partikelns tidsförändring
dr' är den verkliga sträckan
dr är partikelns förändrade sträcka
v är partikelns hastighet
c är ljusets hastighet
Observera: det verkliga tidsintervallet och det verkliga avståndet som partikeln färdas är annorlunda än den tid och det avstånd som beräknas i den klassiska fysikens beräkningar, eftersom den färdas i ett så starkt gravitationsfält!
Med hjälp av ekvationen för platt rymdtid i sfäriska koordinater:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(4)
ds är partikelns väg
θ {\displaystyle \theta }
är vinkeln.
d θ {\displaystyle \theta } och d ϕ {\displaystyle \phi }
är förändringen av vinklarna.
Genom att sätta in ekvationerna för flykthastighet, tidsutvidgning och längdkontraktion (ekvationerna 1, 2 och 3) i ekvationen för platt rymdtid (ekvation 4) får man Schwarzschilds metriska mått:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(5)
Från denna ekvation kan vi ta ut Schwarzschild-radien ( r s {\displaystyle r_{s}}}
), radien för detta svarta hål. Även om detta oftast används för att beskriva ett svart hål enligt Schwarzschild, kan Schwarzschild-radien beräknas för alla tunga föremål.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} är den fastställda radiegränsen för objektet.
Frågor och svar
F: Vad är Schwarzschild-metrin?
S: Schwarzschildmetriken är en ekvation från den allmänna relativitetsteorin inom astrofysiken som beskriver hur en partikel rör sig genom rymden nära ett svart hål. Den beräknades av Karl Schwarzschild som en lösning på Einsteins fältekvationer 1916.
F: Vad avser en metrik?
S: En metrik hänvisar till en ekvation som beskriver rymdtiden; särskilt beskriver en Schwarzschild-metrik gravitationsfältet runt ett svart hål av Schwarzschild-typ.
F: Vilka är några av Schwarzschilds svarta håls egenskaper?
Svar: Schwarzschilds svarta hål är icke-roterande, sfäriskt och har inget magnetfält. Dessutom är dess kosmologiska konstant noll.
F: Hur kan vi beskriva gravitationsfältet runt ett svartschilds svart hål?
S: Vi kan beskriva det med hjälp av Schwartzchilds metriska ekvation som beskriver hur partiklar rör sig i rymden nära denna typ av svart hål.
Fråga: Vem beräknade först denna ekvation?
S: Karl Schwartzchild beräknade först denna ekvation som en lösning på Einsteins fältekvationer 1916.
Fråga: Vad representerar (ds)^2 i denna ekvation?
S: (ds)^2 representerar avståndet mellan två punkter i rymdtiden mätt med avseende på tids- och rumskoordinater.
