AlegsaOnline.com

Schwarzschildmetrik: definition, formel och betydelse för svarta hål

Schwarzschildmetrik: definition, formel och betydelse för svarta hål — förstå hur denna relativistiska lösning beskriver gravitationen runt icke-roterande svarta hål.

Författare: Leandro Alegsa

17-10-2025

Schwarzschilds metrik beräknades av Karl Schwarzschild som en lösning på Einsteins fältekvationer 1916. Den är också känd som Schwarzschilds lösning och är en exakt lösning inom allmänna relativitetsteorin som beskriver rumtiden kring en statisk, sfäriskt symmetrisk massa i vakuum. En metrik beskriver hur avstånd och tid mäts i rumtiden; särskilt beskriver Schwarzschild-metriken gravitationsfältet runt ett svart hål av Schwarzschild-typ — ett icke-roterande, sfäriskt svart hål utan magnetfält och med noll kosmologisk konstant.

Schwarzschild-lösningen gäller i vakuum utanför en koncentrerad massa (där energitätheten är noll) och är asymptotiskt platt (rumtiden blir Minkowskisk långt från massan). Den används både för att förstå svarta hål och för att analysera gravitationseffekter nära kompakta objekt som stjärnor, så länge dessa är ungefär sfäriska och icke-roterande.

Formel

Schwarzschild-metriken i standardpolära koordinater (t, r, θ, φ) skrivs:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$

I formeln ovan är:

c ljusets hastighet i vakuum,
G gravitationskonstanten,
M den centrala massan,
t den koordinattid som mäts av en observatör långt bort (tillförlitlig tid),
r, θ, φ sfäriska koordinater där r är det radiella koordinatavståndet (arean av sfäriska skal = 4πr²).

Viktiga begrepp och fysik

Schwarzschildradien (händelsehorisonten): rs = 2GM/c². Vid r = rs uppstår en yta där den gällande tidskomponenten i metriken byter karaktär — detta är den svarta hålets händelsehorisont. Ingen signal kan lämna regionen r < rs utåt.
Koordinatsingularitet vid r = rs: I Schwarzschild-koordinater ser metriken singular ut vid r = rs, men detta är bara en koordinatsingularitet — den kan tas bort med andra koordinater (t.ex. Eddington–Finkelstein eller Kruskal–Szekeres). Den verkliga fysisk singulariteten ligger vid r = 0.
Singularitet vid r = 0: Krökningen blir oändlig vid r = 0 i denna lösning — detta är en sann geometrisk singularitet i den klassiska teorin.
Tidsdilatation och rödskift: Klockor nära massan går långsammare jämfört med avlägsna observatörer. Faktor för gravitationell tidsdilatation (approx.): √(1 − 2GM/(rc²)). Ljuset som skickas ut från nära horisonten blir gravitationellt rödförskjutet.
Photon-sfär och stabila banor: Ljuset kan kretsa i en ogenomtränglig sfär vid r = 3GM/c² (photon-sfären). Stabiliteten för cirkulära banor för massiva partiklar upphör vid den inre stabila cirkulära banan (ISCO) r = 6GM/c².
Böjning av ljus och tidsfördröjning: Metriken förutsäger ljusböjning runt massor (observerad vid solen), gravitationell linsning och Shapiro-tidsfördröjning.

Egenskaper, tillämpningar och begränsningar

Schwarzschild-lösningen är en vakuumlösning (Tμν = 0) och gäller utanför en sfäriskt symmetrisk massfördelning. Den beskriver både yttre fältet runt en icke-roterande stjärna och det yttre fältet hos ett icke-roterande svart hål.
Lösningen innefattar inte rotation eller elektrisk laddning. För roterande svarta hål används Kerr-metriken, och för laddade svarta hål Reissner–Nordström.
Den kosmologiska konstanten Λ antas vara noll i Schwarzschild-lösningen. Med Λ ≠ 0 finns varianter (t.ex. Schwarzschild–de Sitter).
Schwarzschild-metriken har varit avgörande för att förklara klassiska tester av allmän relativitet (perihelieförskjutning, ljusböjning, gravitationell rödskift) och ger grundläggande insikter i svarta håls egenskaper som händelsehorisont och singularitet.

Betydelse

Schwarzschilds arbete var historiskt viktigt: det var den första exakta lösningen av Einsteins fältekvationer och visade på nya, oväntade resultat som händelsehorisonter och singulariteter. Idag är Schwarzschild-metriken fortfarande en grundpelare i teoretisk astrofysik och används som första approximation i många sammanhang — från banflyktanalys runt kompakta objekt till förståelse av svarta håls kinematik och de observationer som LIGO/Virgo och EHT (Event Horizon Telescope) utför.

Sammanfattning: Schwarzschild-metriken ger en enkel, men mycket informativ modell av rumtiden runt en icke-roterande, sfärisk massa. Den introducerar centrala begrepp som Schwarzschildradien (händelsehorisonten), gravitationell tidsdilatation, photon-sfär och singularitet, samtidigt som den visar begränsningarna för modellen när rotation, laddning eller kosmologisk konstant måste beaktas.

Avledning

Även om ett mer komplicerat sätt att beräkna Schwarzschilds metrik kan hittas genom att använda Christoffel-symboler, kan den också härledas genom att använda ekvationerna för flykthastighet ( v e {\displaystyle v_{e}}} $v_{e}$ ), tidsutvidgning (dt') och längdkontraktion (dr'):

v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} $v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$ (1)

v är partikelns hastighet
G är gravitationskonstanten
M är det svarta hålets massa
r är hur nära partikeln är det tunga föremålet.

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} $dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ (2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} $dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ (3)

dt' är partikelns verkliga tidsförändring
dt är partikelns tidsförändring
dr' är den verkliga sträckan
dr är partikelns förändrade sträcka
v är partikelns hastighet
c är ljusets hastighet

Observera: det verkliga tidsintervallet och det verkliga avståndet som partikeln färdas är annorlunda än den tid och det avstånd som beräknas i den klassiska fysikens beräkningar, eftersom den färdas i ett så starkt gravitationsfält!

Med hjälp av ekvationen för platt rymdtid i sfäriska koordinater:

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} $(ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (4)

ds är partikelns väg

θ {\displaystyle \theta } $\theta$ är vinkeln.
d θ {\displaystyle \theta } $\theta$ och d ϕ {\displaystyle \phi } $\phi$ är förändringen av vinklarna.

Genom att sätta in ekvationerna för flykthastighet, tidsutvidgning och längdkontraktion (ekvationerna 1, 2 och 3) i ekvationen för platt rymdtid (ekvation 4) får man Schwarzschilds metriska mått:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (5)

Från denna ekvation kan vi ta ut Schwarzschild-radien ( r s {\displaystyle r_{s}}} $r_{s}$ ), radien för detta svarta hål. Även om detta oftast används för att beskriva ett svart hål enligt Schwarzschild, kan Schwarzschild-radien beräknas för alla tunga föremål.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (6)

r s {\displaystyle r_{s}} $r_{s}$ är den fastställda radiegränsen för objektet.

Frågor och svar

F: Vad är Schwarzschild-metrin?

S: Schwarzschildmetriken är en ekvation från den allmänna relativitetsteorin inom astrofysiken som beskriver hur en partikel rör sig genom rymden nära ett svart hål. Den beräknades av Karl Schwarzschild som en lösning på Einsteins fältekvationer 1916.

F: Vad avser en metrik?

S: En metrik hänvisar till en ekvation som beskriver rymdtiden; särskilt beskriver en Schwarzschild-metrik gravitationsfältet runt ett svart hål av Schwarzschild-typ.

F: Vilka är några av Schwarzschilds svarta håls egenskaper?

Svar: Schwarzschilds svarta hål är icke-roterande, sfäriskt och har inget magnetfält. Dessutom är dess kosmologiska konstant noll.

F: Hur kan vi beskriva gravitationsfältet runt ett svartschilds svart hål?

S: Vi kan beskriva det med hjälp av Schwartzchilds metriska ekvation som beskriver hur partiklar rör sig i rymden nära denna typ av svart hål.

Fråga: Vem beräknade först denna ekvation?

S: Karl Schwartzchild beräknade först denna ekvation som en lösning på Einsteins fältekvationer 1916.

Fråga: Vad representerar (ds)^2 i denna ekvation?

S: (ds)^2 representerar avståndet mellan två punkter i rymdtiden mätt med avseende på tids- och rumskoordinater.