En Sophie Germain-primtal är ett primtal p med egenskapen att 2p+1 också är ett primtal. Talet q=2p+1 kallas då ett säkert primtal. Definitionen kan formuleras formellt: p är ett Sophie Germain-primtal om både p och 2p+1 är primtal. Begreppet är uppkallat efter den franske matematikern Sophie Germain och beskrivs ofta i introduktioner till primtal och deras specialklasser; se även definitioner av primtal och en biografi över Sophie Germain för historisk bakgrund.
Egenskaper och exempel
Sophie Germain-primtal följer några enkla egenskaper som hjälper vid sökningar och resonemang. För det första är 2 det enda jämna Sophie Germain-primtalet, eftersom alla andra primtal är udda. För p>3 måste p vara kongruent till 2 modulo 3, eftersom om p ≡ 1 (mod 3) skulle 2p+1 vara delbart med 3.
- Exempel på små Sophie Germain-primtal: 2 (2·2+1=5), 3 (2·3+1=7), 5 (11), 11 (23), 23 (47), 29 (59), 41 (83).
- Till varje sådant p motsvarar alltså det säkra primtalet q=2p+1: 5, 7, 11, 23, 47, 59, 83 osv.
Historia och namn
Begreppet hedrar Sophie Germain, som i början av 1800-talet använde särskilda primtal i sitt arbete med vissa fall av Fermats sista sats och studier i talteori. Att särskilda primtalpar har nyttiga algebraiska egenskaper gjorde dessa tal intressanta både historiskt och i modern forskning.
Frekvens och öppna problem
Det är ett öppet matematiskt problem om det finns oändligt många Sophie Germain-primtal. Analytiska antaganden och heuristiska modeller som liknar de som används för tvillingprimtal föreslår att det sannolikt finns oändligt många, och att de följer en blygsam densitet i förhållande till vanliga primtal, men inget rigoröst bevis finns ännu.
Användning och betydelse
Sophie Germain-primtal är av praktisk betydelse eftersom säkra primtal (q=2p+1) ofta används i kryptografiska protokoll där man vill ha en stor prim modulus med en stor säker undergrupp, till exempel i Diffie–Hellman och vissa varianter av digital signaturer. I sådana sammanhang kan man först söka efter ett Sophie Germain-primtal p och därefter ta q=2p+1 som lämplig primmodul.
Noter och vidare läsning
Forsknings- och beräkningsinsatser har identifierat många stora Sophie Germain-primtal, och sökningar fortsätter med hjälp av datorer. Relaterade begrepp är bland annat säkra primtal och primtal som uppfyller liknande linjära villkor. För en introduktion till primtal och deras specialklasser kan man börja med de allmänna resurser som anges ovan: grundläggande definitioner och historiska artiklar om Sophie Germain.