Inom matematiken är en bas eller radix det antal olika siffror eller kombinationer av siffror och bokstäver som ett räknesystem använder för att representera tal. Den vanligaste basen som används idag är till exempel decimalsystemet. Eftersom "dec" betyder 10, används de 10 siffrorna från 0 till 9. De flesta tror att vi oftast använder basen 10 eftersom vi har 10 fingrar.

En bas är vanligen ett heltal större än 1, även om icke heltalsbaser också är matematiskt möjliga. Basen för ett tal kan skrivas bredvid talet: till exempel 23 8 {\displaystyle 23_{8}}{\displaystyle 23_{8}} betyder 23 i basen 8 (vilket är lika med 19 i basen 10). Sexagesimalsystemet (bas 60) är ett historiskt exempel som fortfarande lever kvar i hur vi delar in tid (60 minuter, 60 sekunder) och vinkelgrader (360° = 6 × 60°).

Hur fungerar positionssystemet?

I ett positionssystem bestämmer varje siffra sin värde beroende på positionens vikt, som är en potens av basen. Ett tal med siffror d_n d_{n-1} ... d_1 d_0 i bas b betyder

värde = d_n·b^n + d_{n-1}·b^{n-1} + ... + d_1·b + d_0

Exempel: 23 i bas 8 betyder 2·8^1 + 3·8^0 = 16 + 3 = 19 (i bas 10). För tal med ett decimaltecken (radixpunkt) fortsätter potenserna negativt till höger om punkten: d_{-1}·b^{-1}, d_{-2}·b^{-2}, osv.

Vanliga baser och deras användning

  • Bas 2 (binärt) – används i datorer. Siffrorna är 0 och 1. Exempel: 1011_2 = 1·2^3+0·2^2+1·2+1 = 11 (decimalt).
  • Bas 8 (oktal) – historiskt i vissa datorsammanhang. Siffror 0–7.
  • Bas 10 (decimalt) – vardagligt talsystem: siffror 0–9.
  • Bas 16 (hexadecimal) – vanlig vid programmering och datorsystem. Siffror 0–9 och bokstäverna A–F för 10–15. Exempel: 1A_16 = 1·16 + 10 = 26 (decimalt).
  • Bas 60 (sexagesimal) – babyloniernas system, används fortfarande för tid och vinklar (minuter/sekunder).
  • Specialfall: Det finns även negativa baser (t.ex. bas −2), komplexa baser och icke-heltalbaser (t.ex. φ-basen), men dessa är mindre vanliga.

Hur konverterar man mellan baser?

Nedan följer enkla metoder för att konvertera heltal och bråkdelen mellan baser.

Heltalsdelen – division med basen

  1. Dela talet med målbassystemets bas.
  2. Spara resten (det blir nästa minst signifikanta siffra).
  3. Ta kvoten och upprepa tills kvoten blir 0.
  4. Siffrorna i målbassen blir resten i omvänd ordning (sista rest = mest signifikant).

Exempel: Konvertera 45 (decimalt) till binärt.

  • 45 ÷ 2 = 22 rest 1
  • 22 ÷ 2 = 11 rest 0
  • 11 ÷ 2 = 5 rest 1
  • 5 ÷ 2 = 2 rest 1
  • 2 ÷ 2 = 1 rest 0
  • 1 ÷ 2 = 0 rest 1

Rester bakifrån → 101101_2, alltså 45_10 = 101101_2.

Bråkdelen – multiplikation med basen

  1. Multiplicera bråkdelen med målbasen.
  2. Hela delen av produkten blir nästa siffra till höger om radixpunkten.
  3. Använd den nya bråkdelen (produktens fraktion) och upprepa.
  4. Upprepa tills bråkdelen blir 0 eller tills önskad precision uppnås (vissa tal ger periodiska representationer).

Exempel: Konvertera 0,625_10 till binärt.

  • 0,625 × 2 = 1,25 → siffra 1, ny bråkdel 0,25
  • 0,25 × 2 = 0,5 → siffra 0, ny bråkdel 0,5
  • 0,5 × 2 = 1,0 → siffra 1, ny bråkdel 0 → avbrutet

Resultat: 0,625_10 = 0,101_2.

Konvertering mellan två icke-decimala baser

Ett enkelt tillvägagångssätt är att först konvertera från ursprungsbasen till bas 10 (använd positionsformeln), och sedan från bas 10 till målbassen med metoderna ovan. För större tal och programmering finns effektiva algoritmer som arbetar direkt mellan baser.

Digital representation och symboler

I baser större än 10 används ofta bokstäver för att representera högre siffror: A = 10, B = 11 osv. I hex används A–F. Radixpunkten (i svenskan ibland kallad decimaltecken) skiljer heltals- och bråkdelen åt; i vissa språk används komma i stället för punkt.

Praktiska tips och historik

  • Datateknik: binärt (bit), oktal och hex används för att enklare läsa och gruppera binära data.
  • Tid och geometri: sexagesimalens arv märks i minuter/sekunder och 360°-indelningen.
  • Matematisk mångfald: konceptet bas kan utvidgas till negativa och icke-heltal, vilket leder till intressanta representationer med egna egenskaper.

Sammanfattningsvis är basen (radix) grunden för hur vi representerar tal i ett system. Genom att förstå positionsprincipen och konverteringsalgoritmerna kan man växla mellan olika talsystem och tolka tal i den bas som används.