Perfekta tal: definition, exempel (6, 28, 496) och egenskaper

Perfekta tal som är jämna

Euklid upptäckte att de fyra första perfekta talen skapas genom formeln 2^n-1 (2ⁿ - 1):

för n = 2: 2¹ (2² - 1) = 6

för n = 3: 2² (2³ - 1) = 28

för n = 5: 2⁴ (2⁵ - 1) = 496

för n = 7: 2⁶ (2⁷ - 1) = 8128

Euklid såg att 2ⁿ - 1 är ett primtal i dessa fyra fall. Han bevisade sedan att formeln 2^n-1 (2ⁿ - 1) ger ett jämnt perfekt tal när 2ⁿ - 1 är primtal (Euklid, Prop. IX.36).

Forntida matematiker gjorde många antaganden om perfekta tal utifrån de fyra tal de kände till. De flesta av dessa antaganden var felaktiga. Ett av dessa antaganden var att eftersom 2, 3, 5 och 7 är just de fyra första primtalen, skulle det femte perfekta talet erhållas när n = 11, det femte primtalet. Men 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 × 89 är inte primtal och därför ger n = 11 inte ett perfekt tal. Två andra felaktiga antaganden var:

• Det femte perfekta talet skulle ha fem siffror eftersom de fyra första hade 1, 2, 3 och 4 siffror.
• De perfekta talen skulle växelvis sluta på 6 eller 8.

Det femte perfekta talet ( 33550336 = 2 12 ( 2 13 - 1 ) {\displaystyle 33550336=2^{12}(2^{13}-1)} ) har 8 siffror. Detta falsifierar det första antagandet. När det gäller det andra antagandet slutar det femte perfekta talet faktiskt med en 6. Det sjätte (8 589 869 056) slutar dock också med en 6. Det är enkelt att visa att den sista siffran i varje jämnt perfekt tal måste vara 6 eller 8.

För att 2 n - 1 {\displaystyle 2^{n}-1} ska vara primtal är det nödvändigt att n {\displaystyle n} är primtal. Primtal av formen 2ⁿ - 1 är kända som Mersenneprimer, efter 1600-talsmunken Marin Mersenne, som studerade talteori och perfekta tal.

Två årtusenden efter Euklid bevisade Euler att formeln 2^n-1 (2ⁿ - 1) ger alla jämna perfekta tal. Därför ger varje Mersenne-primtal ett distinkt jämnt perfekt tal - det finns ett konkret ett-till-ett-förhållande mellan jämna perfekta tal och Mersenne-primtal. Detta resultat kallas ofta "Euclid-Euler-satsen". Fram till januari 2013 är endast 48 Mersenneprimer kända. Detta innebär att det finns 48 kända perfekta tal, varav det största är 2^57,885,160 × (2^57,885,161 - 1) med 34 850 340 siffror.

De första 42 jämna perfekta talen är 2^n-1 (2ⁿ - 1) för

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951 (sekvens A000043 i OEIS).

De övriga sju kända är för n = 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281. Det är för närvarande inte känt om det finns andra mellan dessa.

Man vet fortfarande inte om det finns oändligt många Mersenneprimer och perfekta tal. Sökandet efter nya Mersenneprimer är målet för GIMPS-projektet för distribuerad databehandling.

Eftersom alla jämna perfekta tal har formen 2^n-1 (2ⁿ - 1) är det ett triangeltal, och som alla triangeltal är det summan av alla naturliga tal upp till en viss punkt, i detta fall 2ⁿ - 1. Dessutom är alla jämna perfekta tal utom det första summan av de första 2^(n-1)/2 ojämna kuberna:

6 = 2 1 ( 2 2 - 1 ) = 1 + 2 + 3 , {\displaystyle 6=2^{1}(2^{2}-1)=1+2+3,\,}

28 = 2 2 ( 2 3 - 1 ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1 3 + 3 3 3 , {\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},\,}

496 = 2 4 ( 2 5 - 1 ) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 29 + 30 + 31 = 1 3 + 3 3 3 + 5 3 + 7 3 , {\displaystyle 496=2^{4}(2^{5}-1)=1+2+3+\cdots +29+30+31=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3},\,}

8128 = 2 6 ( 2 7 - 1 ) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 125 + 126 + 127 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + 15 3 . {\displaystyle 8128=2^{6}(2^{7}-1)=1+2+3+\cdots +125+126+127=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}.\,}

33550336 = 2 1 3 ( 2 1 4 - 1 ) = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 8188 + 8189 + 8190 + 8191 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + ⋯ + 4089 3 + 4091 3 + 4095 3 . {\displaystyle 33550336=2^{1}3(2^{1}4-1)=1+2+3+4+\cdots +8188+8189+8190+8191=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+\cdots +4089^{3}+4091^{3}+4095^{3}. }  

Perfekta tal som är udda

Det är inte känt om det finns några udda perfekta tal. Olika resultat har erhållits, men inget som har hjälpt till att hitta ett eller på annat sätt lösa frågan om deras existens. Carl Pomerance har presenterat ett heuristiskt argument som tyder på att det inte finns några udda perfekta tal.[1] Det har också gissats att det inte finns några udda Ore's harmoniska tal. Om detta är sant skulle det innebära att det inte finns några udda perfekta tal.

Varje udda perfekt tal N måste uppfylla följande villkor:

• N > 10³⁰⁰ . Det är troligt att det inom en snar framtid kommer att bevisas att N > 10⁵⁰⁰ . [2]
• N är av formen

N = q α p 1 2 e 1 ... p k 2 e k , {\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},}

där:

·         q, p₁ , ..., p_k är olika primtal.

·         q ≡ α ≡ 1 (modulo 4) (Euler).

Bevis

Låt n = p 0 e 0 p 1 e 1 . . . p r e r {\displaystyle n=p_{0}^{e_{0}}}p_{1}^{e_{1}}}...p_{r}^{e_{r}}} vara ett udda perfekt tal. Eftersom divisorfunktionen är multiplikativ är 2 n = σ ( n ) = σ ( p 0 e 0 0 ) σ ( p 1 e 1 ) . . . σ ( p r k r ) {\displaystyle 2n=\sigma (n)=\sigma (p_{0}^{e_{0}}})\sigma (p_{1}^{e_{1}}})...\sigma (p_{r}^{k_{r}})} .

σ ( p 0 e 0 0 ) {\displaystyle \sigma (p_{0}^{e_{0}})} } måste vara ett jämnt tal som inte är delbart med 4 och alla övriga måste vara udda.

σ ( p 0 e 0 0 ) ≡ e 0 + 1 ( mod 4 ) {\displaystyle \sigma (p_{0}^{e_{0}})\equiv e_{0}+1{\pmod {4}}} krafter e 0 ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle e_{0}\equiv 1{\pmod {4}}} .

• Antingen är q^α > 10²⁰ , eller p j 2 e j {\displaystyle p_{j}^{2e_{j}}} > 10²⁰ för vissa j (Cohen 1987).
• N < 2 4 k {\displaystyle 2^{4^{k}}} (Nielsen 2003).
• Relationen e 1 {\displaystyle e_{1}} ≡ e 2 {\displaystyle e_{2}} ...≡ e k {\displaystyle e_{k}} ≡ 1 (modulo 3) är inte uppfyllt (McDaniel 1970).
• Den minsta primfaktorn i N är mindre än (2k + 8) / 3 (Grün 1952).

• Den största primfaktorn av N är större än 10⁸ (Takeshi Goto och Yasuo Ohno, 2006).
• Den näst största primfaktorn är större än 10⁴ , och den tredje största primfaktorn är större än 100 (Iannucci 1999, 2000).
• N har minst 75 primfaktorer och minst 9 olika primfaktorer. Om 3 inte är en av faktorerna i N har N minst 12 olika primfaktorer (Nielsen 2006; Kevin Hare 2005).

Mindre resultat

Jämna perfekta tal har en mycket exakt form; udda perfekta tal är sällsynta, om de ens existerar. Det finns ett antal resultat om perfekta tal som faktiskt är ganska lätta att bevisa men som ändå är imponerande på ytan. Några av dem omfattas också av Richard Guys Strong Law of Small Numbers:

• Varje udda perfekt tal har formen 12m + 1 eller 4356m + 1089 eller 468m + 117 eller 2916m + 729 (Roberts 2008).
• Ett udda perfekt tal är inte delbart med 105 (Kühnel 1949).
• Varje udda perfekt tal är summan av två kvadrater (Stuyvaert 1896).
• Ett Fermattal kan inte vara ett perfekt tal (Luca 2000).
• Det enda jämna perfekta talet av formen x 3 + 1 {\displaystyle x^{3}+1} är 28 (Makowski 1962).
• Genom att dividera definitionen genom med det perfekta talet N måste de reciproka faktorerna i ett perfekt tal N summera till 2:
• För 6 har vi 1/6 + 1/3 + 1/2 + 1/1 = 2 {\displaystyle 1/6+1/3+1/2+1/1=2} ;
• För 28 har vi 1 / 28 + 1 / 14 + 1 / 7 + 1 / 4 + 1 / 2 + 1 / 1 = 2 {\displaystyle 1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2} osv.
• Antalet divisorer till ett perfekt tal (oavsett om det är jämnt eller udda) måste vara jämnt, eftersom N inte kan vara en perfekt kvadrat.
• Av dessa två resultat följer att varje perfekt tal är ett Ore's harmoniskt tal.

Relaterade begrepp

Summan av riktiga divisorer ger olika andra typer av tal. Tal där summan är mindre än själva talet kallas bristfälliga, och där summan är större än talet kallas rikliga. Dessa termer, tillsammans med perfekt i sig självt, kommer från den grekiska numerologin. Ett par tal som är summan av varandras egentliga divisorer kallas amicable, och större cykler av tal kallas sociable. Ett positivt heltal som är sådant att varje mindre positivt heltal är en summa av dess distinkta divisorer är ett praktiskt tal.

Per definition är ett perfekt tal en fixpunkt för den begränsade summa-av-divisorer-funktionen s(n) = σ(n) - n, och den alikvotsekvens som är associerad med ett perfekt tal är en konstant sekvens.