Fermats stora sats | en mycket berömd idé inom matematiken

Översikt

Fermats sista sats är en mer allmän form av Pythagoras sats, som är en ekvation som säger:

a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

När a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} och c {\displaystyle c} är hela tal kallas detta för en "pythagorisk trippel". Till exempel: 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=9+16=25} och eftersom 25 2 = 5 {\displaystyle {\sqrt[{2}]{25}}=5} kan vi säga att 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}} är en pythagorisk trippel. Enligt Fermats sista sats kan detta skrivas om till

x n + y n = z n {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}

och hävdar att om man gör n {\displaystyle n} till ett större heltal än 2 kan inte a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} och c {\displaystyle c} vara naturliga tal. Till exempel 3 3 + 4 3 3 = 27 + 64 = 91 {\displaystyle 3^{3}+4^{3}=27+64=91} och 91 3 = 4,49794144528 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{91}}=4,49794144528} och därför är 3 3 + 4 3 = 4,49794144528 3 {\displaystyle 3^{3}+4^{3}=4,49794144528^{3}}} är ett exempel som bekräftar detta.

På ekvationens kvadratiska

x och y är två okända summor som summerar den imaginära tredje summan z. Trots att det finns fyra termer: n, x, y och z, är n en funktion som summerar summan av de okända summorna. Noll saknas i denna ekvation enligt regeln "1 plus 1 är 2 och inte mer", som skrivs 1+1=2+0.

För att förtydliga är n en summa.

 

Bevis

Beviset gjordes för vissa värden av n {\displaystyle n} , till exempel n = 3 {\displaystyle n=3} , n = 4 {\displaystyle n=4} , n = 5 {\displaystyle n=5} och n = 7 {\displaystyle n=7} , som har förvaltats av många matematiker, bland annat Fermat, Euler och Sophie Germain. Men eftersom det finns ett oändligt antal pythagoriska triplar, eftersom talen räknas uppåt i all evighet, gjorde detta Fermats sista sats svår att bevisa eller motbevisa; det fullständiga beviset måste visa att ekvationen inte har någon lösning för alla värden på n {\displaystyle n} (när n {\displaystyle n} är ett heltal större än 2), men det är inte möjligt att helt enkelt kontrollera varje kombination av tal om de fortsätter i all evighet.

En engelsk matematiker vid namn Andrew Wiles hittade en lösning 1995, 358 år efter att Fermat skrev om den. Richard Taylor hjälpte honom att hitta lösningen. Beviset krävde åtta års forskning. Han bevisade satsen genom att först bevisa modularitetssatsen, som då kallades för Taniyama-Shimura-konjekturen. Med hjälp av Ribets sats kunde han ge ett bevis för Fermats sista sats. Han fick Wolfskehlpriset från akademin i Göttingen i juni 1997: det uppgick till cirka 50 000 amerikanska dollar.

Efter några år av debatt enades man om att Andrew Wiles hade löst problemet. Andrew Wiles använde mycket modern matematik och skapade till och med ny matematik när han tog fram sin lösning. Denna matematik var okänd när Fermat skrev sin berömda anteckning, så de Fermat kunde inte ha använt den. Detta får en att tro att de Fermat faktiskt inte hade en fullständig lösning på problemet.

Kritik av bevis

Vos Savant skrev 1995 att Wiles bevis borde förkastas på grund av att det använder icke-euklidisk geometri. Hon sa att "beviskedjan är baserad på hyperbolisk (Lobachevskisk) geometri", och eftersom denna geometri tillåter saker som att kvadrera cirkeln, en "berömd omöjlighet" trots att den är möjlig i hyperbolisk geometri, så "om vi förkastar en hyperbolisk metod för att kvadrera cirkeln, bör vi också förkasta ett hyperboliskt bevis för Fermats sista sats".

Bevis utan elliptisk

När n är känt för att summera två ordinala värden kan det inte överstiga det räknade värdet 2 om det större värdet tas som 1 enhet.

 
Den brittiske matematikern Andrew Wiles  

Generalisering

Beals generaliseringsförutsägelse, eller Beal-förutsägelsen, som ställdes av investeraren Andrew Beal, frågar varför det alltid finns gemensamma faktorer (som celler i batterier) i ekvationer som denna, av den allmänna formen aˣ+bʸ=cᶻ.

 

Mer läsning

• Aczel, Amir (30 september 1996). Fermats sista sats: att avslöja hemligheten bakom ett gammalt matematiskt problem. Fyra väggar och åtta fönster. ISBN 978-1-568-58077-7.
• Friberg, Joran (2007). Förvånande spår av ett babyloniskt ursprung i grekisk matematik. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9812704528.
• Kleiner I (2000). "Från Fermat till Wiles: Fermats sista sats blir en sats" (PDF). Elem. Math. 55: 19-37. doi:10.1007/PL00000079. S2CID 53319514. Arkiverad från originalet (PDF) 2012-02-19. Hämtad 2011-08-17.
• Mordell L.J (1921). Tre föreläsningar om Fermats sista sats. Cambridge: Cambridge University Press.
• Panchishkin, Alekseĭ Alekseevich (2007). Introduktion till modern talteori (Encyclopedia of Mathematical Sciences. Springer Berlin Heidelberg New York. ISBN 978-3-540-20364-3.
• Ribenboim P (2000). Fermats sista sats för amatörer. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0387985084.
• Singh, Simon (oktober 1998). Fermats gåta. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8.