Konjugerade variabler är par av storheter (t.ex. variabler som x, y, z) som i kvantmekaniken representeras av operatorer eller matriser och som i allmänhet inte kommuterar, det vill säga deras produkt beror på ordningen: AB ≠ BA. Här betyder inte tecknet för produkter nödvändigtvis vanlig skalär multiplikation utan snarare sammansättning av operatorer eller matrisprodukt. I praktiken handlar det ofta om position och rörelsemängd, men begreppet gäller också andra par som är ”kanoniskt” kopplade.
Fysikern Werner Heisenberg och hans medarbetare utvecklade 1925 matris- eller operatorformen av kvantmekaniken. De fann att position (vanligen betecknad Q) och rörelsemängd (vanligen betecknad P) inte ger samma resultat beroende på i vilken ordning man låter dem verka: PQ ≠ QP. Detta icke-kommutativa beteende är grundläggande för kvantmekanikens struktur.
Vad innebär icke-kommutativitet i praktiken?
När Q och P inte kommuterar kan man inte talar om att de har gemensamma exakta värden samtidigt. Rent matematiskt är skillnaden mellan två ordningar viktig och uttrycks genom kommutatorn nedan. Operatordifferensen är samma slags ”minus” som vanlig subtraktion, men den tillämpas på operatorer/matriser och inte på vanliga tal.
Matematisk definition: kommutatorn
Kommutatorn för två operatorer A och B definieras som
[A,B] = AB − BA.
För position och rörelsemängd gäller den kanoniska kommutationsrelationen
[Q,P] = QP − PQ = iħ I,
där i är den imaginära enheten, ħ (uttalas “h-bar”) är Plancks konstant dividerad med 2π (ħ = h / 2π), och I är identitetsoperatorn. Ibland skrivs detta också som QP − PQ = i h / (2π), vilket är ekvivalent med iħ.
Heisenberg, Born och matrisframställningen
Heisenberg formulerade ursprungligen kvantmekaniken i termer av matriser. Max Born (tillsammans med P. Jordan och senare med W. Heisenberg) insåg att Heisenbergs kvantiteter kunde tolkas som matriser och formaliserade kommutationsrelationerna. Kommutationsrelationen ovan är central för den matematiska strukturen i matris-/operatorformalismen.
Exempel: matriselement för produkter
Som exempel kan man tänka sig matriser för P och Q där element anges med två index (t.ex. över energitillstånd n). Om man bildar produkten P·Q respektive Q·P får man olika matriselement enligt summation över en intern index.
Den första ekvationen kan användas för att ta reda på produkten av rörelsemängd och position:
Y ( n , n - b ) = ∑ a p ( n , n - a ) q ( n - a , n - b ) {\displaystyle Y(n,n-b)=\sum _{a}^{}\}\,p(n,n-a)q(n-a,n-b)} 
Den andra ekvationen kan användas för att beräkna produkten av position och rörelsemängd:
Z ( n , n - b ) = ∑ a q ( n , n - a ) p ( n - a , n - b ) {\displaystyle Z(n,n-b)=\sum _{a}^{}\}\,q(n,n-a)p(n-a,n-b)} 
Dessa två uttryck visar hur de element som hör till produkterna P·Q respektive Q·P är olika, vilket resulterar i en icke-noll kommutator.
För illustration: i en väteatom motsvarar sådana matriser övergångar mellan stationära tillstånd (nivåer) och används för att beräkna till exempel utsläppt fotonenergi när en elektron faller från ett högre till ett lägre tillstånd.
Representationer i praktiken
I positionsrepresentationen verkar operatorerna på vågfunktionen ψ(x) så här:
- Q fungerar som multiplikation med x: (Qψ)(x) = x ψ(x).
- P ges i en vanlig representation av differentialoperatorn: (Pψ)(x) = −iħ (d/dx) ψ(x).
Dessa representationer uppfyller kommutationsrelationen [Q,P] = iħ I när de verkar på lämpliga funktioner.
Fysisk betydelse: osäkerhetsrelationen
Den icke-noll kommutatorn mellan konjugerade variabler leder direkt till Heisenbergs osäkerhetsprincip. För position x och rörelsemängd p gäller
Δx · Δp ≥ ħ / 2.
Detta betyder att ju mer exakt man bestämmer positionen, desto mindre exakt kan man bestämma rörelsemängden samtidigt — ett grundläggande kvantmekaniskt inslag, inte en begränsning i mätinstrument.
Andra konjugerade par och tillämpningar
Position och rörelsemängd är det mest kända exemplet, men begreppet kanoniska konjugerade variabler förekommer också för energi och tid (med vissa tolkningar och begränsningar), vinkel och vinkelmålsrörelsemängd, och i allmänhet i kvantisering av klassiska system där Poissonbracket {q,p} = 1 motsvaras av kommutatorn [Q,P] = iħ.
Konjugerade variabler och deras kommutatorrelationer har stora tillämpningar i fysik, kemi och andra vetenskapsområden — från spektralanalys och kemiska bindningar till kvantinformation och partikelmodeller.
[Symbolen Q betecknar matrisen/operatorn för position, P matrisen/operatorn för rörelsemängd, i är den imaginära enheten och h är Plancks konstant; ofta används istället ħ = h / 2π så att kommutatorn skrivs [Q,P] = iħ.]