Algebraisk lösning för polynomekvationer och lösbarhet med radikaler

Definition och benämningar

Begreppet kallas ofta även för lösbar med radikaler. En algebraisk lösning är ett uttryck som konstrueras med upprepade tillämpningar av:

• addition
• subtraktion
• multiplikation
• division
• utvinning av rötter (kvadratrotsutdragning, kubikrotsutdragning med flera)

Typiska exempel

Det mest välkända exemplet är formeln för den allmänna kvadratiska ekvationen. För ett andragradspolynom ax² + bx + c = 0 (med a ≠ 0) ges rötterna av den klassiska formeln:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a , {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}},}

a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}

Högregradsekvationer

• Det finns algebraiska lösningar för den allmänna kubiska och den kvartiska ekvationen; den kvartiska beskrivs närmare under uttrycket för kvartiska ekvationen.
• Abel–Ruffini-satsen visar att den allmänna kvintiska ekvationen inte har någon lösning i slutna former med endast de ovan angivna operationerna. Mer precist: för polynom av grad n ≥ 5 finns ingen generell formel med radikaler som ger alla rötter.
• Trots detta finns många särskilda polynom av grad ≥ 5 som är lösbara med radikaler; lösbarheten beror på gruppteoretiska egenskaper hos polynomet (se vidare under Galoisteori).

Särskilda fall

I många enkla fall, även för högre grader, kan man ändå skriva en algebraisk lösning. Till exempel ekvationen

x 10 = a {\displaystyle x^{10}=a}

har lösningen

x = a 1 / 10 . {\displaystyle x=a^{1/10}. }

Här avses vanligen de primitiva 10:e rötterna; för reella positiva a finns en real huvudrot a^(1/10).

Teoretisk bakgrund och användbarhet

• Galoisteori ger ett allmänt kriterium för när ett polynom är lösbart med radikaler: polynomet är lösbart om och endast om dess Galoisgrupp är en lösbar grupp.
• I praktiken används algebraiska lösningar när de är enkla nog att ge insikt eller exakta uttryck; ofta kompletteras de med numeriska metoder för att beräkna specifika rötter.
• Algebraiska lösningar spelar också roll i symbolisk manipulation, kursmaterial och bevisföring, även när numeriska approximationer används i tillämpningar.

Vidare läsning

• Läs om kvadratiska ekvationen för härledningen av formeln ovan.
• Se resurser om kvartiska ekvationen och historiska metoder för att lösa tredje- och fjärdegradsekvationer.
• För grupptolkningen av lösbarhet, studera material kopplat till Galoisteori och Abel–Ruffini.