Flytande punkt

Översikt

Inom matematik och vetenskap förenklas ofta mycket stora och mycket små tal och multipliceras med en tiopotens för att göra dem lättare att förstå. Det kan till exempel vara mycket lättare att läsa 1,2 biljoner som 1,2 × 10 12 {\displaystyle 1.2\times 10^{12}}} än 1 200 000 000 000 000. Detta kan också användas med negativa tiopotenser för att skapa små tal, vilket innebär att du kan representera 0,000001 som 1 × 10 - 6 {\displaystyle 1\times 10^{-6}} . Detta förfarande kallas vetenskaplig notation.

Eftersom datorer är begränsade till heltal och binära tal innebär det att de inte enkelt kan representera bråkdecimaltal. För att representera bråksiffror använder datorer tre uppsättningar binära tal för att skapa en vetenskaplig notation. De är: den signerade biten, som bestämmer om talet är positivt (0) eller negativt (1), signifikanten, som är en heltalsversion (hel) av talet, och exponenten, som är den potens du multiplicerar basen med.

Betydelse och

Signifikanten hittas genom att ta ditt tal och flytta radixpunkten tills det inte finns någon bråkdel, vilket gör det till ett heltal. I decimaltal är detta att göra 1,45 till 145 genom att flytta punkten två steg åt höger, och i binärtal skulle detta vara att göra 1101,0111 (13,4375) till 1101 0111 (215) genom att flytta punkten fyra steg åt höger; i båda fallen är dessa tal inte relaterade till varandra utöver att använda samma siffror i en liknande ordning.

På samma sätt som vetenskaplig notation gör signifikanten så grundläggande som möjligt, är syftet med flyttal att göra den till ett heltal så att den kan representeras i bytes och användas i beräkningar.

Exponent

Exponenten är det antal siffror som radixpunkten har flyttats förbi: om den flyttas till vänster är exponenten negativ, men om den flyttas till höger är den positiv. Som ovan krävs det att du multiplicerar med 100 för att göra 1,45 till 145, så exponenten är 2 eftersom 100 = 10 2 {\displaystyle 100=10^{2}}} . På samma sätt krävs det för att göra 1101.0111 (13.4375) till 1101 0111 (215) att du flyttar radixpunkten fyra kolumner till höger, så exponenten är 4. Detta kan verifieras i decimalform som 215 ÷ 13.4375 = 16 ( 2 4 ) {\displaystyle 215\div 13.4375=16(2^{{4})} } .

Eftersom processen är omvänd i de flesta fall av vetenskaplig notation, eftersom det handlar om att göra en fraktion till ett heltal i stället för att vända ett stort heltal till ett bråk, är exponenter i allmänhet negativa för att flytta decimalplatsen till vänster; i decimal skulle detta vara att vända ditt heltal 145 tillbaka till bråktalet 1,45 genom att multiplicera det med 10 - 2 {\displaystyle 10^{-2}} . Istället för att använda en signerad bit längst till vänster är exponenten istället förskjuten, vilket ger 32-bitars float-exponenter ett intervall på 2 - 126 {\displaystyle 2^{-126}} till 2 127 {\displaystyle 2^{127}} . Utgångsvärdet för den snedvridna exponenten kan hittas genom att lägga till 127 till den:

b 5 = 132 ( 5 + 127 ) = 10000100 {\displaystyle b^{5}=132(5+127)=10000100}

b - 5 = 122 ( - 5 + 127 ) = 01111010 {\displaystyle b^{-5}=122(-5+127)=01111010}

b 0 = 127 ( 0 + 127 ) = 0111111111 {\displaystyle b^{0}=127(0+127)=0111111111}

Exempel

Decimal till Bikimal

Låt oss till exempel anta att vi vill representera decimaltalet 37,40625 till dess binära motsvarighet: en bikimal (eller binär decimal/bråk). Först måste vi ta vårt decimaltal, som är i potenser av 10, och omvandla det till binärt tal, som är i potenser av 2. Ett sätt att göra detta är att subtrahera den största möjliga potensen av två tills man når noll:

37.40625 - 32 ( 2 5 ) = 5.40625 {\displaystyle 37.40625-\mathbf {32} (2^{5})=5.40625}

5.40625 - 4 ( 2 2 ) = 1.40625 {\displaystyle 5.40625-\mathbf {4} (2^{2})=1.40625}

1.40625 - 1 ( 2 0 ) = 0.40625 {\displaystyle 1.40625-\mathbf {1} (2^{0})=0.40625}

0.40625 - 0.25 ( 2 - 2 ) = 0.15625 {\displaystyle 0.40625-\mathbf {0.25} (2^{-2})=0.15625}

0.15625 - 0.125 ( 2 - 3 ) = 0.03125 {\displaystyle 0.15625-\mathbf {0.125} (2^{-3})=0.03125}

0.03125 - 0.03125 ( 2 - 5 ) = 0 {\displaystyle 0.03125-\mathbf {0.03125} (2^{-5})=0}

Med hjälp av potenser av två ovan kan vi representera vårt decimaltal 37,40625 {\displaystyle 37,40625} på följande sätt:

Bicimal till Float

Vi har bekräftat att vårt decimaltal 37.40625 {\displaystyle 37.40625} representeras binärt som 100101.01101 {\displaystyle 100101.01101} . Problemet med datorer är dock att de representerar tal som hela potenser av två med hjälp av bitar, vilket gör det komplicerat med bråktal och negativa tal. I enlighet med IEEE-754 är det vanligaste sättet att göra detta med en dator att skapa ett 32-bitars flyttal som består av tre delar: tecknet, 1 bit för att avgöra om vårt tal är positivt eller negativt, exponenten, 8 bitar för att representera exponenten och till vilken vi adderar 127 för att undvika signerade bytes, och vår signifikant, som är vårt binära tal utan tvåkommapunkt fördelat på 23 bitar. Eftersom vi måste flytta vår bicimalpunkt 5 platser för att göra 100100.01101 {\displaystyle 100100.01101} till signifikanten 10010001101 {\displaystyle 10010001101} är vår exponent 132 ( 5 + 127 ) {\displaystyle 132(5+127)} . Genom att använda en 32-bitars float kan vi representera 37,40625 på följande sätt:

Relaterade sidor

• Binary
• Negativa binära tal
• Radixpunkt
• Vetenskaplig notation