Aritmetikens fundamentalsats | en sats i talteori

Bevis

Den första som bevisade teoremet var Euklid. Det första detaljerade och korrekta beviset fanns i Disquisitiones Arithmeticae av Carl Friedrich Gauß.

En del människor kanske tror att satsen är sann överallt. Men satsen är inte sann i mer allmänna talsystem, som t.ex. algebraiska heltal. Detta nämndes första gången av Ernst Kummer 1843 i hans arbete om Fermats sista sats. För mer information om detta: läs algebraisk talteori.

Beviset består av två delar: för det första visar vi att varje tal kan skrivas som en produkt av primtal, för det andra visar vi att om vi skriver ett tal som en produkt av primtal för andra gången måste de två listorna med primtal vara desamma.

Första delen av beviset

Vi visar att om inte alla tal större än 1 kan skrivas som en produkt av primtal, så hamnar vi i någon form av omöjlighet. Efter det drar vi slutsatsen att det måste vara sant att alla tal kan skrivas som en produkt av primtal.

Se nu vad som händer när någon säger att han/hon känner till ett positivt heltal, större än 1, som inte kan skrivas som en produkt av primtal. I så fall ber vi honom/henne att nämna alla tal som är större än 1 och som inte kan skrivas som en produkt av primtal. Ett av dessa tal måste vara det minsta: vi kallar det n. Naturligtvis kan detta tal n inte vara 1. Dessutom kan det inte vara ett primtal, eftersom ett primtal är en "produkt" av ett enda primtal: sig självt. Det måste alltså vara en produkt av tal. Således-

n = ab

där både a och b är positiva heltal som naturligtvis är mindre än n. Men: n var det minsta tal som inte kan skrivas som en produkt av primtal. Det måste alltså vara möjligt att skriva a och b som produkter av primtal, eftersom de båda är mindre än n. Men då är produkten

n = ab

kan också skrivas som en produkt av primtal. Detta är en omöjlighet eftersom vi sade att n inte kan skrivas som en produkt av primtal.

Vi har nu visat på den omöjlighet som föreligger om den första delen av satsen inte skulle vara sann. På detta sätt har vi nu bevisat den första delen av satsen.

Andra delen av beviset

Nu måste vi bevisa att det bara finns ett sätt att skriva ett positivt tal större än 1 som en produkt av primtal.

För att göra detta använder vi följande lemma: om ett primtal p delar en produkt ab, så delar det a eller b (Euklids lemma). Först ska vi nu bevisa detta lemma. Anta nu att p inte delar a. Då är p och a lika många primtal och vi har Bezouts identitet som säger att det måste finnas heltal x och y så att

px + ay = 1.

Genom att multiplicera allt med b får man

pbx + aby = b,

Kom ihåg att ab kan delas av p. Så nu har vi på vänster sida två termer som är delbara med p. Termen på höger sida är alltså också delbar med p. Vi har nu bevisat att om p inte delar a, måste det dela b. Det bevisar lemmat.

Nu ska vi bevisa att ett heltal större än 1 bara kan skrivas på ett sätt som en produkt av primtal. Ta två produkter av primtal A och B som har samma resultat. Vi vet alltså för resultatet av produkterna att A = B. Ta ett valfritt primtal p från den första produkten A. Det delar A, så det delar också B. Genom att flera gånger använda det lemma som vi just bevisat kan vi se att p då måste dela minst en faktor b av B. Men faktorerna är alla primtal i sig själva, så även b är primtal. Men vi vet att p också är primtal, så p måste vara lika med b. Så nu delar vi A med p och delar också B med p. Och vi får ett resultat som A* = B*. Återigen kan vi ta ett primtal p från den första produkten A* och ta reda på att det är lika med något tal i produkten B*. Om vi fortsätter på detta sätt ser vi till slut att primfaktorerna i de två produkterna måste vara exakt lika. Detta bevisar att vi kan skriva ett positivt heltal som en produkt av primtal på endast ett unikt sätt.

Relaterade sidor

• Grundläggande sats i algebra